Diophantoszi egyenlet

Először is észrevesszük, hogy tudunk 2-vel osztani:

3x+4y=5, adjunk mindkét oldalhoz x-et:

4x+4y=5+x, a bal oldalon ki tudunk emelni 4-et:

4*(x+y)=5+x.

A bal oldal biztosan osztható 4-gyel, ezért a jobb oldalnak is kell ezt tudnia. Mivel 5 4-es maradéka 1, ezért x 4-es maradéka 3 kell, hogy legyen, ezek pedig a 4k+3 alakú számok, tehát ha x=4k+3, ahol k tetszőleges egész szám, akkor az egyenlet megoldásához jutunk. Ezt beírjuk x helyére az egyenletben, és megoldjuk y-ra:

4*(4k+3+y)=5+4k+3, ennek megoldása y=-3k-1, ahol k tetszőleges egész. Ez lesz az egyenlet megoldása.

Nem tudom, mit tanultatok. Lehet pl. ezt csinálni, bizonyítás nélkül:

- 6-nak és 8-nak a legnagyobb közös osztója 2, a 10 osztható 2-vel, ezért van megoldása az egyenletnek.
- Ránézésre, kevés próbálkozás után látszik, hogy x₁=3, y₁=-1 egy megoldás.
- A legnagyobb közös osztóval osztva az jön ki a bal oldalon, hogy 3x+4y
- ezért az összes megoldás ilyen: x = x₁ + k·4, y = y₁ - k·3, vagyis:
x = 3 + 4k
y = -1 - 3k
ahol k ∈ ℤ