A)
ATC és BTC háromszögek hasonlóak!
Bizonyítás: A csúcsnál lávő szöget nevezzük α-nak. Ekkor a nagy háromszög harmadik szöge
90-α lesz, és ez egyben a másik kis háromszög szöge is lesz. Ekkor a két kis háromszögben két szög megegyezik, tehát a harmadik is ugyan akkora lesz, így ez a kettő hasonló egymáshoz!!
A többinél Pitagorasz-tételt, és hasonlóságot kell használni, és az arányok összeadódnak!

a) Három darab háromszög látható az ábrán; az ABC, ATC, BTC háromszögek, ezek mind hasonlóak egymáshoz.

Bizonyítás: két háromszög hasonló, hogyha szögeik páronként egyenlőek. Mindegyik háromszögnek van egy derékszöge, tehát azok páronként megegyeznek. Tegyük fel, hogy az A csúcsnál lévő szög nagysága α, ekkor a B csúcsnál lévő szög nagysága 90°-α, azért, mert tetszőleges háromszögben a belső szögek összege 180°, és ez ekkor teljesül, mivel 90°+α+(90°-α)=90°+α+90°-α=180°. Ugyanezen logika szerint a C-nél lévő "bal"szög nagysága is 90°-α lesz, a "jobb"szög pedig α. Tehát mindhárom háromszögben α;(90°-α);90°-os szögek találhatóak, tehát ezek a háromszögek hasonlóak.

Pitagorasz tételének értelmében az AB oldal hossza 5 cm lesz, mivel 3²+4²=5² igaz.

A háromszög magasságát a háromszög területéből fogjuk kiszámolni; egyrészt tudjuk, hogy a háromszög területe 3*4/2=6 cm² (a 3;4 cm oldalú téglalap területének a fele), másrészt az oldal*oldalhoz tartozó magasság/2 képletből 5*mc/2. Értelemszerűen ezek egyenlőek, tehát:

6=5*mc/2, melynek megoldása mc=12/5=2,4 cm. Ennek tudatában a másik két derékszögű háromszögre fel tudjuk írni Pitagorasz tételét:
x²+2,4²=3², ennek megoldása x=1,8 cm. A másik háromszögre is felírható, viszont tudjuk, hogy x+y=5, vagyis a két rész összhossza az átfogó, ezért y értéke 3,2 cm lesz.

b) Legyen a két befogó hossza 3x és 4x, ekkor (3x):(4x)=3:4 teljesül. Ebben az esetben Pitagorasz tétele így fog kinézni:

(3x)²+(4x)²=20², kibontjuk a zárójeleket:
9x²+16x²=400, összevonunk:
25x²=400, osztunk 25-tel:
x²=16, végül gyököt vonunk:
x=4, tehát a befogók hossza 3*4=12 cm és 4*4=16 cm. 12²+16²=400=20², tehát igaz.

c) Gyakorlatilag ugyanaz a történet, mint a b)-ben; Legyen a két befogó x és 2x, ekkor x:(2x)=1:2 arány teljesül. Az átfogó hossza 1+4=5 cm, tehát Pitagorasz tétele szerint:

x²+(2x)²=5², ennek x=√5 a megoldása, tehát a befogók hossza √5 cm és 2*√5 cm, igény szerint lehet kerekíteni. A magasságot megint érdemesebb a területből kiszámolni; egyrészt a háromszög területe √5*2*√5/2=5 cm², másrészt 5*mc/2, ezek egyenlőek, tehát:

5=5*mc/2, amelyre mc=2 cm adódik.

d) Ennél a feladatnál már szükségszerű a hasonlóság használata, mivel máshoz nincs elég adat (illetve, ha tanultad a magasságtételt, akkor azzal is lehet). Ha két háromszög hasonló, akkor az egymásnak megfeleltethető oldalak aránya egyenlő. Háromszög esetén azok feleltethetőek meg egymásnak, amelyekkel szemközt ugyanaz a nagyságú szög található. Az adott ábrán az ATC háromszögben x-szel szemközt ugyanaz a nagyságú szög van, mint BTC-ben az mc-vel szemközt (mindkettőnél 90°-α szög van), ezért ezeket osztjuk egymással, így az x/mc hányadost kapjuk. Ugyanez igaz az ATC-ben található mc és a BTC-ben található y oldalra is (α szög), tehát ezeket elosztva egymással az mc/y hányadost kapjuk. A fentiek értelmében ez a két hányados egyenlő, tehát:

x/mc = mc/y. Itt most adott, hogy x=3 és y=27 (lehet fordítva is, teljesen mindegy), ekkor az egyenlet:

3/mc = mc/27, ennek megoldása mc=9, tehát az átfogóhoz tartozó magasság 9 cm hosszú.

Magasságtétellel így jön ki: mc=√ 3*27 =√ 81 =9, tehát 9 cm a magasság.

Innen a terület: 9*30/2=135 cm².

Az komoly, hogy én megoldottam az egész feladatot, de a másikat jelölöd megoldásnak, ami ráadásul hibás is...