Hány százalék a hulladék?

Legyen a körlap sugara r, ekkor a körlap területe r²π. Ha a szabályos tízszög csúcsait összekötjük annak középpontjával, akkor a tízszöget 10 egyenlő részre osztottuk fel, mégpedig 10 egyenlő szárú háromszögre, ahol a szárak hossza a kör sugara, vagyis r. A középpontnál lévő szögek a teljesszöget, vagyis 360°-ot adnak ki, ezt is 10 egyenlő részre osztottuk, ezért 1 háromszögben a szárak hajlásszöge 360°/10=36°. Így már minden adott, hogy kiszámoljuk 1 háromszög területét; a szinuszos területképlet szerint r*r*sin(36°)/2=r²*sin(36°)/2 a területe, ebből 10 darab van a tízszögben, ezért annak területe 10*r²*sin(36°)/2=5*r²*sin(36°).

A hulladék mértéke a körlap és a tízszög területének különbsége, vagyis r²π-5*r²*sin(36°). Innen egy egyszerű százalékszámítással 100*(r²π-5*r²*sin(36°))/(r²π) % lesz a hulladék mértéke a körlaphoz képest. Ha a számlálóból kiemelünk r²-et, akkor 100*(r²*(π-5*sin(36°))/(r²π)-et kapjuk, amiből látható, hogy r²-tel lehet egyszerűsíteni, így 100*((π-5*sin(36°))/π lesz a keresett százalék, amit igény szerint lehet kerekíteni, például ~6,451%. A minél pontosabb eredmény eléréséhez érdemes π-vel osztani, így a 100*(1-(5*sin(36°)/π) alakot kapjuk, ekkor 3 irracionális szám helyett csak 2 irracionális számmal kell számolni.

Mivel a végleges alakból r kiesett, ezért teljesen mindegy, hogy a körlap sugara mekkora, a hulladék aránya a körlapéhoz képest mindig ugyanannyi lesz.