Minden test fölött értelmezett polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, ahányadfokú. Ha pontosan annyi gyöke van, akkor algebrailag zárt testről beszélünk, ilyen a komplex számtest (ezt mondja ki az algebra alaptétele). Mi a helyzet akkor a privát üzenetedben is említett, `mathbb{Z}_4` fölötti `2x^2+2x` polinommal? Ennek másodfokú létére négy gyöke van. Ez mégsem cáfolja az állításomat, ugyanis `mathbb{Z}_4` nem test, csak gyűrű (például mert a 2-nek nincs multiplikatív inverze, van viszont nullosztó, mert `2*2=0`). Ha bizonyítás is érdekel, itt van egy: https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ringtheory/countroots.pdf



Tehát `mathbb{Z}_5` fölött is érvényes, hogy öt gyökhöz legalább ötödfokú poliom kell. Például:

`f(x)=(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^5 + 4x`

Természetesen ennek tetszőleges konstansszorosa is jó, pl. a kétszerese `2x^5+3x`.



Megjegyzés: `mathbb{Z}_5`-ben `4=-1`, tehát `x^5+4x=x^5-x`. Általánosan is igaz, hogy a `x^p-x` polinom gyökei éppen a `mathbb{Z}_p` test elemeit adják (`p` prím). Ez azért van így, mert minden nemnulla `alpha in mathbb{Z}_p` elemre `alpha^(p-1)=1`, vagyis az `x^{p-1}-1` polinom gyökei `mathbb{Z}_p` nemnulla elemei. Ahhoz, hogy a nullát is hozzávegyük, még `x`-szel kell szoroznunk, így jön ki `x^p-x`.