Nem tudom, de talán ez segíthet: https://www.mateking.hu/analizis-3/interpolacios-polinomok/mi-az-interpolacio#2

Az ilyen feladatok általában az egész együtthatós polinomok azon tulajdonságán szoktak elbukni, hogy `x_1-x_2\ |\ f(x_1)-f(x_2)`. Viszont most ez a tulajdonság a felsorolt gyökökre mind teljesül, szóval ez a próba nem járt sikerrel.

Vizsgáljuk a `g(x)=f(x+14)` polinomot. Világos, hogy ha `f(x)` egész együtthatós, akkor `g(x)` is az, és ha találtunk `g(x)`-et, akkor egyszerűen megkonstruálható `f(x)`. Legyen `g(x)=sum_{n=0}^N a_n x^n`, és helyettesítsük be a megadott feltételeket:

`g(0)=440 \quad \Rightarrow \quad a_0=440`
`g(-4)=400 \quad \Rightarrow \quad 400=440+a_1*(-4)+...+a_{N-1}*(-4)^{N-1}+a_N*(-4)^N`
`g(4)=520 \quad \Rightarrow \quad 520=440+a_1*4+...+a_{N-1}*4^{N-1}+a_N*4^N`

Adjuk össze és vonjuk is ki egymásból az utolsó két egyenletet, így egyszer a páratlan, egyszer a páros kitevőjű tagok esnek ki:

`920=880+2a_2*4^2+2a_4*4^4+2a_6*4^6+...`
`120=2a_1*4+2a_3*4^3+2a_5*4^5+...`

Kicsit egyszerűsítve ezeket:

`5=a_2*4+a_4*4^3+a_6*4^5+...`
`15=a_1+a_3*4^2+a_5*4^4+...`

Ennek a két egyszerű egyenletnek bármelyik megoldása megad egy olyan `g(x)` polinomot, amelynek a helyettesítési értékei jók lesznek, abból pedig visszaszámolható `f(x)`. Például másodfokú polinom esetén `g(x)=5/4x^2+15x+440` és `f(x)=g(x-14)=5/4x^2-20x+475`.

A kérdés már csak az, hogy vannak-e az egész számok körében is megoldásai az egyenleteknek. Rögtön látszik, hogy az elsőnek biztosan nincsenek, mert egész `a_2`, `a_4` stb. esetén a jobb oldal osztható néggyel, míg a bal oldal nem. Tehát nincs ilyen `g(x)` polinom, és mivel `g(x)` és `f(x)` között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van, `f(x)` sincs.