a)
Mindenhol differenciálható, ahol értelmezve van.
x²-y ≥ 0
... illetve majdnem. Ott sem, ahol a derivált végtelen lenne. Szóval x² > y esetén differenciálható.

b)

b1)
Nem tudom, mi az a Df jelölés, feltételezem, hogy a gradiens.
f(x,y) = (x²-y)1/2
∂f/∂x = 1/2 · (x²-y)-1/2 · 2x
= x / √ x²-y 
∂f/∂y = 1/2 · (x²-y)-1/2 · (-1)
= -1 / (2 · √ x²-y )

grad f az a vektor, aminek ∂f/∂x és ∂f/∂y a két tagja.
grad f(2,3) = (2/√ 2²-3 ; -1/(2√ 2²-3 ))
grad f(2,3) = (2; -1/2)

b2)
D(x₀;y₀)f az (x₀;y₀) irány menti deriváltat jelöli. Azt úgy kapjuk, hogy az adott (2;3) pontbeli gradiens vektort skalár-szorozzzuk az (1/√10;3/√10) irány egységvektorral: (könnyen ellenőrizhető, hogy tényleg egységvektor; azért van a √10 a nevezőben)
(2; -1/2)·(1/√10; 3/√10) = 2/√10 - 3/(2√10) = 1/(2√10)

b3)
Abban az irányban a legnagyobb, ami párhuzamos a gradienssel. Az egységvektorhoz osztani kell √(2²+1/2²) = √ 17 /2-vel: (4/√17; -1/√17)
(2; -1/2)·(4/√17; -1/√17) = 8/√17 + 1/(2√17) = 17/(2√17)

b4)
Az érintősík általánosan: ∂f(x₀;y₀)/∂x·(x-x₀) + ∂f(x₀;y₀)/∂y·(y-y₀) = z-z₀
A deriváltakat már tudjuk: 2 és -1/2
z₀ = f(x₀;y₀) = √(2²-3) = 1
2·(x-2) + (-1/2) ·(y-3) = z-1