Matek 8. Geometriai transzformaciok

a) Behúzzuk a trapéz 2 magasságvonalát, amik a rövidebbik alap végpontjaiból indulnak, ezek a trapézt 3 részre bontják; középen egy téglalap keletkezik, a két szélén pedig két egyenlő szárú háromszög, amik egybevágóak. A hosszabbik szakaszt is 3 részre osztják; a téglalap miatt a középső rész ugyanolyan hosszú, mint az alap, tehát 4 cm, a másik két rész, mivel egyenlő hosszúak, így 2-2 cm hosszúak lesznek. Tehát adott egy derékszögű háromszög, melynek egyik befogója 2 cm, átfogója 4 cm hosszú. Ha ezt a háromszöget tükrözzük a még nem ismert hosszú befogóra, akkor az eredeti és a tükörkép olyan háromszöget fognak alkotni, amelynél minden oldal 4 cm hosszú, tehát szabályos háromszöget, arról pedig tudjuk, hogy minden szöge 60°-os. Tehát a trapéz alapjain 60°-os szögek találhatóak.

A derékszögű háromszögben a másik hegyesszög nagysága 30°-os lesz, mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°. Emellett van a téglalap 90°-os szöge, tehát a rövidebbik alapon 30°+90°=120°-os szögek fekszenek.

A trapéz magasságát Pitagorasz tételéből tudjuk meghatározni; ha a magasságot M-mel jelöljük, akkor:

2² + M² = 4², ennek megoldása M=√ 12  cm.

A trapéz megszerkesztése: először felvesszük a 8 cm-es szakaszt, ennek mindkét végére (de a szakasznak ugyanarra az oldalára) szerkesztünk egy-egy 4 cm oldalhosszú szabályos háromszöget, végül a két háromszög harmadik csúcsát összekötjük.

b) Ha hasonló a trapéz, akkor ugyanazt tudja, mint az eredeti; 3 oldala egyenlő, ezek hossza legyen x, a másik oldal pedig az előzőek kétszerese, vagyis 2x, így kerülete x+x+x+2x=5x, ennek 50-nek kell lennie, tehát 5x=50, amire x=10 cm adódik, így a három egyenlő oldal hossza 10-10-10 cm, a leghosszabb oldal 2*10=20 cm hosszú. Mivel a trapézok hasonlóak egymáshoz, és definíció szerint akkor hasonlóak, ha páronként a szögek megegyeznek, ezért a szögek ugyanakkorák, vagyis 2 szöge 60°-os, két szöge 120°-os.

c) A két trapéz megfelelő oldalainak aránya λ=új/eredeti=20/8=10/4=2,5. Az arány ugyanígy működik a magasságvonalra is (illetve bármilyen vonalakra, amik megfeleltethetőek egymásnak a két trapézban), ezért a magasság is 2,5-szeresére fog nőni, vagyis 2,5*√ 12  cm hosszú lesz.

Neked még annyi dolgod lesz, hogy ellenőrizd, hogy valóban ennyi az új trapéz magassága, az a)-ban számoltak szerint érdemes eljárni. Ha végeredménynek √ 75 -öt kapsz, akkor jól számoltál.