"Legalább hány mérkőzést nyert meg" azt jelenti, hogy ha minimum annyit megnyert, akkor van olyan játszma-elosztás, hogy ő nyerjen holtverseny nélkül, vagyis amikor a többiek mindegyike kevesebbet nyert.
Ha viszont ennél 1-gyel kevesebbet nyerne, akkor nem lenne rá lehetőség, hogy mindenki más ennél kevesebbet nyerjen.
(Szóval nem kell tutira menni, hogy biztos legyen, hogy csak ő tud nyerni.)

Akkor kezdjük:

Nincs döntetlen.
Van n(n-1)/2 mérkőzés (mindenki n-10-et játszik)
Ezt az n(n-1)/2 mérkőzést el kell "osztani" az n ember között, hogy melyiket ki nyeri meg. Ha nagyon kiegyenlített a dolog (vagyis sok holtverseny van a győztes körül), akkor mindenki (n-1)/2 mérkőzést nyer.
Ha n páratlan, akkor lehet is így elosztani, hogy van esélye a csupa holtversenynek, az nekünk nem jó. Tehát legalább (n-1)/2 + 1 versenyt megnyert a győztes. (A többiből n-2 nyert (n-1)/2 darabot, egy meg annál 1-gyel kevesebbet.)
Ha n páros, akkor az átlag nem egész szám: (n-1)/2 = n/2 - 1/2. Vagyis lesz olyan az átlagosak között is, aki ennél többet, n/2-t nyert, így a győztesnek n/2 + 1 mérkőzést kellett nyernie. Ez csak akkor nem lenne igaz, ha pontosan egy n/2-es lenne és egy n/2-1-es, vagyis amikor n=2.

Vagyis ha n=2, akkor n/2 = 1 mérkőzést elég megnyernie a győztesnek.
Ha n > 2 páros, akkor legalább n/2 + 1 mérkőzést kellett nyernie a győztesnek.
Ha n páratlan, akkor legalább (n-1)/2 + 1 mérkőzést kellett nyernie a győztesnek.