Merőleges altér

Tulajdonképpen a feladat második része triviális. Bármelyik elemét is vesszük elő `H`-nak, az merőleges lesz `H^(bot)` minden elemére. Ez igaz lesz a bázisvektorokra is. Az első résznél befogjuk bizonyítani, hogy a két érintett `H` és `H^(bot)` altér kifeszíti az egész teret és metszetük 0 vektor. Másodszor be fogjuk látni, hogy `H=(H^(bot))^(bot)` állítás is igaz lesz.
1/1 esetén legyen `e_1, e_2 ,... e_r` a `H` altér ortonormált bázisa, majd vegyük elő a `N` tér tetszőleges `u` vektorát, és legyen `e=(u;e_1)e_1+(u;e_1)e_1+...(u;e_r)e_r`. A bázisvektorok ortonormáltsága alapján `(e;e_i)=(u;e_i) (i=1, 2,...r)`, azaz `(u-e;e_i)=0`, azaz `v=u-e in H^(bot)`.
Így a tér `u` vektora `u=v+e` alakba írható, ahol `e in H`. Ha `t` vektor eleme a metszetnek, akkor eleme a `H^(bot)`-nak is, így merőleges `H` minden elemére is, azaz önmagára is. `(t;t)=0 ` A pozitív definit tulajdonság alapján `t=0`.
1/2 Ha `u in H`, akkor `u` merőleges `H^(bot)` minden elemére, amiből következik, hogy
` u in (H^(bot))^(bot)`. 1/1-ből `N=H+H^(bot)` valamint 1/2 első részéből, ahol a "`+`" jel a két altér direkt összegére utal.
`N=H^(bot)+(H^(bot))^(bot)`. Így` H=(H^(bot))^(bot)`. a két altér dimenziója azonos.
1/3. Már csak a a dimenziók közti összefüggést kell felhasználni: `dim(N)=dim(H)+dim(H^(bot))-dim(N_0)`, ahol `N_0` a zéróaltérre utal, aminek dimenziója éppen 0. Kellett, hogy tanuljátok, hogy ha `L_1` és `L_2` két altere a `N`-nek, továbbá magát az `N` teret is altérnek tekintve és `N_0= L_1 cap L2` igaz a következő összefüggés: `dim(N)=dim(L_1)+dim(L_2)-dim(N_0)`. Így
speciális esetben `dim(H)+dim(H^(bot))=4`.

Most látom, hogy 1.3 feladat összefüggésben van 1.2 feladattal. Így a megoldás során konkrét számadatokat kellene prezentálni. Jó neked az ha az igazi megoldás késik mondjuk 24 órát? Most nekem más irányú feladataim is volnának...

Ha megoldjuk az 1.2 egyenletet, akkor `(z+t; -(z+3t); z; t)` kétparaméteres vektor sokaságot kapjuk megoldásként.
Ebből összeállítunk egy négyzetes mátrixot:
`[[t,z,2,z+t],[-3t, -z, -4, -(z+3t)],[0, z, 1, z],[t, 0,1, t]]` aminek a rangja `2`, tehát biztosan lesz `2` lineárisan független oszlopvektor, akárhogy is választunk ki 3 oszlopvektort. Ugyanez az állítás kimondható a sorvektorokra is. Ez azt fogja jelenteni, hogy `dim(H)=2`.
Ha felvesszük `tz=-1` feltételt, akkor a két utolsó sor ortogonális lesz és a `z=-frac{1}{t}` feltételt, akkor `[[t,-1/t,2,-1/t+t],[-3t, 1/t, -4, 1/t-3t],[0, -1/t, 1, -1/t],[t, 0,1, t]]` egyparaméteres mátrixhoz jutunk (`t ne 0`), amelynek utolsó két sora ortogonális. `xi` és `eta`-val jelölve a két utolsó sorvektort, `-xi-3eta` valamint `xi+eta` előllítja az első két sorvektort is.
Az `abs(xi)=frac{sqrt(2+t^2)}{t}` valamint `abs(eta)=sqrt(2t^2+1)` normával ezek ortonormáltá , azaz bázisvektorokká tehetők a `H` altéren.

Tudjuk azt, hogy `dim(H^(bot))=2`. Keressük azt a két `lambda` és `mu` vektorokat, hogy `lambda*mu=0` és `lambda*xi=0`, `lambda*eta=0`, `xi*mu=0` valamint `eta*mu=0` legyen. Keressük a megoldásokat `lambda=(a; b; c; 1)` és `mu=(u; v; 1; 0)` alakban. A megoldás a következő alakokat hozza: `a=frac{-t^2(t^2+2)}{t^4+t^2+1}`, `b=-frac{2t^2+1}{t^4+t^2+1}`, `c=frac{t(t^2-1)}{t^4+t^2+1}`, `u=-1/t` és `v=t`. Normálás után a kapott két vektor szintén bázisvektorokká tehetők a `H^(bot)` altéren.