A homogén rész (`y_h''-6y_h'+9y_h=0`) megoldásait `e^{lambda x}` alakú próbafüggvénnyel keressük, helyettesítsük ezt be:

`lambda^2 e^{lambdax}-6lambda e^{lambda x}+9e^{lambda x}=0`

`lambda^2-6lambda +9=0`

`(lambda -3)^2=0`

Tehát a kapott karakterisztikus egyenletnek egy kétszeres, valós megoldása van: `lambda=3`. Belső rezonancia lép fel, ilyenkor a homogén rész általános megoldása:

`y_h(x)=C_1 e^{3x}+C_2 x e^{3x}`

Az inhomogén egyenlethez a próbafüggvényünk `y_p(x)=C_3 e^{2x}+C_4 x+C_5` lesz. Helyettesítsük be:

`4C_3 e^{2x}-12C_3e^{2x}-6C_4+9C_3 e^{2x}+9C_4 x+9C_5=3e^{2x}-6x`

`C_3 e^{2x}+9C_4 x-6C_4+9C_5=3e^{2x}-6x`

Innen `C_3=3`, `C_4=-2/3` és `C_5=-4/9`. Tehát a teljes általános megoldás:

`y(x)=y_h(x)+y_p(x)=``C_1 e^{3x}+C_2 x e^{3x}+3 e^{2x}-2/3 x-4/9`

A partikuláris megoldáshoz ki kell elégítenünk a kezdeti feltételeket:

`y(0)=0 qquad Rightarrow qquad C_1+3-4/9=0 qquad Rightarrow qquad C_1=-23/9`

`y'(0)=-1 qquad Rightarrow qquad -23/3+C_2+6-2/3=-1 qquad Rightarrow qquad C_2=4/3`