Koordináta geometria

A középpontja O(-2; -4)
Sugara 5.

a)
OP irányvektora: (1-(-2); 0-(-4) = (3; 4)
OQ irányvektora: (2-(-2); -7-(-4) = (4; -3)
Ezek skalárszorzata: 3·4 + 4·-3 = 0
Vagyis derékszög van közöttük.
Ez a középponti szög, ezért a kerületi szög 45°

b)
Az R pont nincs rajta a körön (mert nem jön ki 25, ha behelyettesítem a bal oldalra)
Az RP egyenes egyenlete kellene:
irányvektor: (4-1; 4-0)
normálvektor: (4; -3)
egyenlet: 4x-3y = 4·1-3·0

Az egyenes és a kör közös pontjai:
(x+2)¹+(y+4)²=25
4x-3y=4           → x = 1 + 3y/4
----
(1+3y/4+2)² + (y+4)² = 25
... nem írom le végig a másodfokú kifejtését és a megoldóképletet, lesz két gyök:
y₁ = 0 → ez a P pont
y₂ = -8 → ez a húr másik végpontja
x₂ = 1 - 24/4 = -5

P-nek és (-5; -8)-nak a távolsága:
√((1-(-5))² + (0 - (-8))²) = √(6²+8²) = √100 = 10

----------------
A másik lapon a b) részhez hiányzik a g függvény.

c)
|2x - 2| ≤ x/2 + 1

1) Ha 2x ≥ 2, vagyis x ≥ 1
2x - 2 ≤ x/2 + 1
2x ≤ x/2 + 3
Ezt ránézéssel lehet megoldani: szerencsére nem kell sokat próbálgatni, x=2-nél:
2² =4
2/2+3 = 4
tehát pont az egyenlőség teljesül.
x>2 esetén a bal oldal exponenciálisan nő, a jobb lineárisan, szóval a bal tuti nagyobb, nem teljesülhet az egyenlőtlenség.
Tehát 2 ≥ x ≥ 1 ezen az ágon a megoldás.

2) ha 2x < 2, vagyis x < 1
2 - 2x ≤ x/2 +1
-2x ≤ x/2 -1
2x ≥ 1 - x/2
x=0-ra épp fennáll az egyenlőség. Negatív x-ekre a bal oldal egyre kisebb (a 0-hoz közelít), a jobb pedig egyre nagyobb, tehát nem állhat fenn az egyenlőtlenség.
Tehát 0 ≤ x < 1 ennek az ágnak a megoldása.

Összességében: 0 ≤ x ≤ 2