a)
A normálás azt jelenti, hogy a hullámfüggvény abszolútérték-négyzetének integrálja egységnyi legyen, vagyis:

`int_{-oo}^{oo} |psi (x)|^2 dx=1`

Most `|psi(x)|^2=|A|^2 e^(-x^2/(sigma^2))`. Ez egy Gauss-függvény `0` várható értékkel és `sigma/sqrt(2)` szórással (kicsit olyan, mintha a feladat készítője elfelejtette volna, hogy nem a hullámfüggvényt, hanem a négyzetét kell egységnyire normálni). Statisztikából ezt jól ismerjük, akkor lesz normált, ha `|A|^2=1/(sigma sqrt(pi))`.



b)
A vonatkozó operátorok:

`hat x=x*`

`hat x^2=x^2*`

`hat p=( ℏ )/i (partial)/(partial x)`

`hat p^2=- ℏ^2 (partial^2)/(partial x^2)`


Nézzük a helykoordináta várható értékét:

`langle x rangle = langle psi | hat x | psi rangle=``int_{-oo}^{oo} psi^\text{*}(x) x psi(x) dx=``int_{-oo}^{oo} x |psi(x)|^2 dx=0`

Az a) feladatban láttuk, hogy `|psi(x)|^2` egy `0` várható értékű, `sigma/sqrt(2)` szórású, normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. Innentől kezdve nem kell sokat számolnunk, csak a normális eloszlás statisztikai momentumait ismernünk. A fenti integrál ugyanis a várható érték definíciója, tehát `langle x rangle = 0`.


Hasonlóan, a helykoordináta négyzete:

`langle x^2 rangle = langle psi | hat x^2 | psi rangle=``int_{-oo}^{oo} x^2 |psi(x)|^2 dx=(sigma^2)/2`

Ez pedig a normális eloszlás második momentuma. Statisztikából tudjuk, hogy ez a szórásnégyzet, azaz jelen esetben `(sigma^2)/2`.


Az impulzus:

`langle p rangle = langle psi | hat p | psi rangle=``int_{-oo}^{oo} psi^\text{*}(x) ( ℏ )/i (partial)/(partial x) psi(x) dx`

Ez kicsit bonyolultabb, itt már megjelent `psi(x)` deriváltja is. De szerencsénk van az exponenciális függvény miatt:

`(d psi)/(d x)=A e^{-x^2/(2 sigma^2)}*(-x/(sigma^2))=``-x/(sigma^2) psi(x)`

Tehát:

`langle p rangle =``( ℏ )/i int_{-oo}^{oo} psi^\text{*}(x) (-x/(sigma^2)) psi(x) dx=``-( ℏ )/(i sigma^2) int_{-oo}^{oo} x |psi(x)|^2 dx=``-( ℏ )/(i sigma^2) langle x rangle=0`


Végül pedig az impulzus négyzete:

`langle p^2 rangle = langle psi | hat p^2 | psi rangle=``int_{-oo}^{oo} psi^\text{*}(x) (- ℏ ^2) (partial^2)/(partial x^2) psi(x) dx`

Itt a hullámfüggvény második deriváltja jelent meg, de az előbbi trükköt itt is el tudjuk játszani:

`(d^2 psi)/(d x^2)=``d/(dx) (-x/(sigma^2) psi(x))=``-1/(sigma^2) psi(x)-x/(sigma^2) (d psi)/(dx)=``-1/(sigma^2) psi(x)-x/(sigma^2) (-x/(sigma^2) psi(x))=``(x^2/(sigma^4)-1/(sigma^2))psi(x)`

Tehát:

`langle p^2 rangle =``- ℏ^2 int_{-oo}^{oo} (x^2/(sigma^4)-1/(sigma^2)) |psi(x)|^2 dx=``(- ℏ^2)/(sigma^4) int_{-oo}^{oo} x^2 |psi(x)|^2 dx + (ℏ^2)/(sigma^2) int_{-oo}^{oo} |psi(x)|^2 dx=``(- ℏ^2)/(sigma^4) langle x^2 rangle + (ℏ^2)/(sigma^2) langle psi | psi rangle=``(- ℏ^2)/(sigma^4) * (sigma^2)/2 + (ℏ^2)/(sigma^2)*1=``(ℏ^2)/(2sigma^2)`



c)
A hely és az impulzus bizonytalansága (szórása):

`Delta x = sqrt(langle x^2 rangle -(langle x rangle)^2)=``sqrt(sigma^2/2-0)=sigma/sqrt(2)`

`Delta p = sqrt(langle p^2 rangle -(langle p rangle)^2)=``sqrt((ℏ^2)/(2sigma^2)-0)=( ℏ )/(sqrt(2) sigma)`

A kettő szorzata:

`Delta x Delta p = ( ℏ )/2`

Azt kaptuk tehát, hogy ebben a gaussos esetben egyenlőséggel teljesül a Heisenberg-féle határozatlansági reláció!