1a)
5x+8y = 5·(-2)+8·7
5x+8y = 46
1b)
(x-(-3))² + (y-5)² = 4²
(x+4)² + (y-5)² = 16

2)
Ha merőlegesek, akkor skalárszorzatuk nulla:
a·(-2) + 5·3 = 0
a = -5·3/(-2) = 15/2

3a)
Pitagorasz: √((8-12)²+(9-1)²) = √(16+64) = √80
3b)
A kör egyenlete ez: x²+y²=5²
Az origóból az E pontba menő irányvektor a (4;3) vektor. Erre merőleges az érintő, tehát ez lesz az egyenes normálvektora. Ezért az egyenes egyenlete:
4x+3y = 4·4+3·3
4x+3y = 25

Normálvektora már meg van adva.
Irányvektora: (3; -4)
Meredeksége: rendezzümk át az egyenletét: y = (25-4x)/3 = -4/3 x + 25/3
Ezért a meredekség -4/3
Irányszöge: arc tg -4/3

3c)
Az f egyenes egyenlete:
AB irányvektora (12-8; 1-9) = (4; -8)
normálvektora: (8; 4)
egyenlete: 8x+4y=8·8+4·9

e és f itt metszik egymást:
4x+3y = 25
8x+4y = 100
---
Az első egyenlet duplájából vonjuk ki a másodikat:
2y = -50
y = -25
4x+3(-25) = 25
x = 100/4 = 25
Tehát a (25; -25) pontban metszik egymást.

4.a)
AB irányvektora (5-(-1); 2-3) = (6; -1), szöge: arc tg -1/6 = -9,46°
AC irányvektora (5-2; 2-(-4)) = (3; 6), szöge: arc tg 6/3 = 63,43°
szögük 63,43 - (-9,46) = 72,89°

4.b)
A súlyvonal átmegy az AC felezőpontján, ami F((5+2)/2; (2+(-4))/2) = F(7/2; -1)
BF irányvektora: (7/2-(-1); -1 - 3) = (9/2; -4)
BF normálvektora: (4; 9/2)
egyenes egyenlete:
4x +9/2 y = 4·(-1) + 9/2 · 3

5.a)
x²-2x + y²+6y = 15
(x-1)²-1 + (y+3)²-9 = 15
(x-1)² + (y+3)² = 25 = 5²
Középpont: (1;-3)
sugár: 5

b) Abszcissza: x=2
(2-1)² + (y+3)² = 25
(y+3)² = 24
|y+3| = √24 = 4,899
Ha pozitív y+3:
y₁ = 4,899 - 3 = 1,899
Ha negatív y+3:
-y-3 = 4,899
y₂ = -7,899
Vagyis a (2; 1,899) és (2; -7,899) pontok azok.

5c) Egyenletrendszer:
(x-1)² + (y+3)² = 25
4x - 3y - 38 = 0 → y = 4x/3 - 38/3

(x-1)² + (4x/3 - 38/3 + 3)² = 25
(x-1)² + (4x/3 - 29/3)² = 25
brrr... az jön ki, hogy x=5
Csak egy gyök van, tehát érinti.
y = 4·5/3 - 38/3 = -6
Tehát az (5; -6) pontban érinti.

Nagyon szépen köszönöm