Ezeket tudjuk:

tg(x)=sin(x)/cos(x)
ctg(x)=cos(x)/sin(x)
sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), tehát az egyenlet átírható így:

sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x) = 2*2*sin(x)*cos(x), szorzunk a nevezőkkel:

sin²(x) + cos²(x)=4*sin²(x)*cos²(x)

Tudjuk, hogy sin²(x)+cos²(x)=1, továbbá a jobb oldal visszalakítható 4*sin²(x)*cos²(x)=(2*sin(x)*cos(x))²=sin²(2x) alakra, tehát:

1=sin²(2x), ebből pedig gyökvonás után két egyenletet kapunk:

sin(2x)=1, amire x=...
sin(2x)=-1, amire x=..., ezek nem hiszem, hogy nagy nehézséget okoznának.

Van egy másik megoldás is, ahhoz viszont egy picit speciálisabb tudás kell; tudjuk, hogy ctg(x) a tg(x) reciproka. Könnyen levezethető, hogy egy pozitív szám és annak reciprokának összege legalább 2, pontosan 2 akkor, hogy 1+1 van. A sin(x) függvény értékkészlete a [-1;1] intervallum, a sin(2x)-re ugyanez igaz, a 2*sin(2x)-nek viszont az értékkészlete a [-2;2] intervallum, tehát csak akkor lehet megoldása az egyenletnek, hogyha a bal és a jobb oldal értéke is 2, tehát azt kell megnézni, hogy a tg(x)+ctg(x)=2 és a 2*sin(2x)=2 egyenletek mikor teljesülnek. A fenti megállapítás miatt csak akkor lesz így, hogyha tg(x)=1 és ctg(x)=1, mindkettő megoldáshalmaza az x=(π/4)+k*π, ahol k tetszőleges egész. 2*sin(2x)=2 esetén a megoldáshalmaz x=(π/4)+l*π, ahol l tetszőleges egész. Így már csak az a kérdés, hogy ezek mikor lesznek azonosak, tehát:

(π/4)+k*π=(π/4)+l*π, erre k=l adódik, tehát tetszőleges egész k-ra (illetve l-re) megoldását kapjuk az egyenletnek.

Ha viszont a számunk negatív, akkor a szám és reciprokának összege legfeljebb -2, 2*sin(2x) értéke legalább -2, tehát akkor lehet még ennek megoldása, hogyha mindkét oldal -2, tehát tg(x)=-1, így x=-(π/4)+k*π és sin(2x)=-1, vagyis x=-(π/4)+l*π, ugyanaz a történet, mint fent volt.

A legrövidebben így adható meg a megoldáshalmaz: x=±(π/4)+k*π, ahol k tetszőleges egész.