Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kör egyenlete
Törölt
kérdése
13480
1. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát, ha az egyenlete:
a) (x+4)² + (y-3)² = 49
b) x² + y² + 8x - 6y - 3 = 0
2. Egy kör átmérőjének végpontjai (-3; 5), (7; -2). Írd fel a kör egyenletét!
3. Az (x-4)² + (y+5)² - 8 egyenletű körhöz a P(6; -3) pontjában érintőt húzunk.
Írd fel az érintő egyenletét!
4. Milyen helyzetű az y = x - 2 egyenletű egyenes az x² + y² + 4x - 4y - 18 = 0 körhöz képest?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
köregyenlet, koordinátageometria
köregyenlet, koordinátageometria
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Rantnad
{ 
}
megoldása
1a) Középpont: (-4;3), sugara √ 49 =7 egység.
1b) Olyan alakra kell hozni, ahogyan az a)-ban látjuk, ehhez teljes négyzetté kell alakítanunk:
(x+4)²-16+(y-3)²-9-3=0, ebből (x+4)⁴+(y-3)²=28 egyenletet kapjuk ebből a kör középpontja (-4;3), sugara √ 28 egység.
2. A kör középpontja az átmérő felezőpontjában van, ami ebben az esetben a (2;1,5) pont. A sugarat úgy kapjuk, hogy kiszámoljuk az átmérő hosszát, az itt √ (7-(-3))²+(-2-5)² =√ 149 , ennek fele √ 149 /2. Így már minden adott, hogy a kör egyenletét felírjuk:
(x-2)²+(y-1,5)²=(√ 149 /2)², vagyis
(x-2)²+(y-1,5)²=37,25. Ellenőrizni úgy lehet, hogy a két végpont koordinátáit beírjuk, és ha egyenlőséget kapunk, akkor jó a számítás.
3. Ilyen formában ez nem egy kör egyenlet, hanem egy kétismeretlenes kifejezés. Ha (x-4)²+(y+5)²-8=0, vagy (x-4)² + (y+5)² = 8 lenne, akkor már kör egyenletéről beszélhetünk. Feltételezem, hogy ez az alak akart lenni, és csak lemaradt az egyenlőség, szóval számoljunk ezzel. Megnézzük, hogy a P pont milyen viszonyban van a körrel; mivel a koordináták beírása után egyenlőséget kapunk, ezért rajta van a körön.
Azt kell tudnunk, hogy a kör sugara merőleges az érintőre, vagyis a sugárra felírt vektor normálvektora lesz az érintő egyenesnek. A kör középpontja a C(4;-5) pont, így a CP→ vektor: (2;2), így már minden adott, hogy felírjuk az egyenes egyenletét; a normálvektoros képlet szerint:
2x+2y=2*6+2*(-3)=6, tehát 2x+2y=6, ezt esetleg lehet még osztani 2-vel, így az x+y=3 egyenletű egyenest kapjuk.
4. Itt csak annyi a dolgunk, hogy a kör egyenletében y helyére beírjuk az x-2-t:
x²+(x-2)²+4x-4*(x-2)=18=0. Ha ennek az egyenletnek:
-0 megoldása van, akkor az egyenes és a kör nem metszik egymást. Ha arra is kíváncsi vagy, hogy melyik melyik fölött van, akkor csak annyi a dolgod, hogy kiválasztasz egy pontot a körről, ezután kiválasztasz egy pontot az egyenesről úgy, hogy az első koordinátája megegyezzen az előbb kiválasztott ponttal, és amelyiknek nagyobb a második koordinátája, az van felül.
-1 megoldása van, akkor az egyenes érinti a kört, hogy melyik van felül, ugyanúgy kell kiszámolni, mint az első esetben (csak ne az érintési pontot válaszd, mert abból nem fog kiderülni semmi).
-2 megoldása van, akkor az egyenes metszi a kört.
1b) Olyan alakra kell hozni, ahogyan az a)-ban látjuk, ehhez teljes négyzetté kell alakítanunk:
(x+4)²-16+(y-3)²-9-3=0, ebből (x+4)⁴+(y-3)²=28 egyenletet kapjuk ebből a kör középpontja (-4;3), sugara √ 28 egység.
2. A kör középpontja az átmérő felezőpontjában van, ami ebben az esetben a (2;1,5) pont. A sugarat úgy kapjuk, hogy kiszámoljuk az átmérő hosszát, az itt √ (7-(-3))²+(-2-5)² =√ 149 , ennek fele √ 149 /2. Így már minden adott, hogy a kör egyenletét felírjuk:
(x-2)²+(y-1,5)²=(√ 149 /2)², vagyis
(x-2)²+(y-1,5)²=37,25. Ellenőrizni úgy lehet, hogy a két végpont koordinátáit beírjuk, és ha egyenlőséget kapunk, akkor jó a számítás.
3. Ilyen formában ez nem egy kör egyenlet, hanem egy kétismeretlenes kifejezés. Ha (x-4)²+(y+5)²-8=0, vagy (x-4)² + (y+5)² = 8 lenne, akkor már kör egyenletéről beszélhetünk. Feltételezem, hogy ez az alak akart lenni, és csak lemaradt az egyenlőség, szóval számoljunk ezzel. Megnézzük, hogy a P pont milyen viszonyban van a körrel; mivel a koordináták beírása után egyenlőséget kapunk, ezért rajta van a körön.
Azt kell tudnunk, hogy a kör sugara merőleges az érintőre, vagyis a sugárra felírt vektor normálvektora lesz az érintő egyenesnek. A kör középpontja a C(4;-5) pont, így a CP→ vektor: (2;2), így már minden adott, hogy felírjuk az egyenes egyenletét; a normálvektoros képlet szerint:
2x+2y=2*6+2*(-3)=6, tehát 2x+2y=6, ezt esetleg lehet még osztani 2-vel, így az x+y=3 egyenletű egyenest kapjuk.
4. Itt csak annyi a dolgunk, hogy a kör egyenletében y helyére beírjuk az x-2-t:
x²+(x-2)²+4x-4*(x-2)=18=0. Ha ennek az egyenletnek:
-0 megoldása van, akkor az egyenes és a kör nem metszik egymást. Ha arra is kíváncsi vagy, hogy melyik melyik fölött van, akkor csak annyi a dolgod, hogy kiválasztasz egy pontot a körről, ezután kiválasztasz egy pontot az egyenesről úgy, hogy az első koordinátája megegyezzen az előbb kiválasztott ponttal, és amelyiknek nagyobb a második koordinátája, az van felül.
-1 megoldása van, akkor az egyenes érinti a kört, hogy melyik van felül, ugyanúgy kell kiszámolni, mint az első esetben (csak ne az érintési pontot válaszd, mert abból nem fog kiderülni semmi).
-2 megoldása van, akkor az egyenes metszi a kört.
1
- Még nem érkezett komment!