17.a)
sin²x - √3 cos²x = sinx·cosx - √3·sinx·cosx
sin²x - sinx·cosx - √3 cos²x + √3·sinx·cosx = 0
sinx(sinx - cosx) + √3·cosx(sinx - cosx) = 0
(sinx + √3·cosx)(sinx - cosx) = 0

Egyik eset:
sinx + √3·cosx = 0       → tg x = -√3
Másik eset:
sinx - cosx = 0              → tg x = 1

Ezeket szerintem meg tudod már oldani.

17.b)
Először kikötés kell:
x+1 > 0 → x > -1
2x-1 > 0 → x > 1/2
Mindkettőnek teljesülnie kell, tehát x > 1/2 a kikötés.

Tudjuk, hogy log1/2 bármi = - log₂ bármi
mert az 1/2 és a 2 egymás reciprokai.

log₂(x+1) + log₂(2x-1) = 0
log₂( (x+1)(2x-1) ) = 0
(x+1)(2x-1) = 1
Ezt is be tudod már fejezni, ugye? A kikötést nem teljesítő megoldást dobd majd el.

18.a)
Ha q=2:
- 1,2,4,8,16
- 2,4,8,16,32
- 3,6,12,24,48
- 4,8,16,32,64
- 5,10,20,40,80
több nem lehet
Ha q=3:
- 1,3,9,27,81
több nem lehet.
Vagyis 6-féle lehet.

18.b)
Ha d=1: 1,2,3,4,5-től 86,87,88,89,90-ig van 86-féle
Ha d=2: 1,3,5,7,9-től 82,84,86,88,90-ig van 82-féle
Általában ha d a differencia, akkor:
- 1,d,2d,3d,4d-től 90-4d,90-3d,90-2d,90-d,90-ig van 90-4d féle

Ezért d maximum ennyi lehet:
90-4d ≥ 1
89 ≥ 4d
d = 22

d=1-től 22-ig van tehát ennyi:
86 + 82 + 78 + ... + 2 féle
(d=22-nél 90-4d = 90-88 = 2 lehetőség volt)

Ez egy számtani sorozat összege, 22 elemből áll.
Vagyis 22·(86+2)/2 = 11·88 = ...

17a) Emeljük mindkét oldalt négyzetre:

sin⁴(x)-2*√3*sin²(x)*cos²(x)+3*cos⁴(x)=(1-√3)²*sin²(x)*cos²(x)

Tudjuk, hogy sin²(x)+cos²(x)=1, erre cos²(x)=1-sin²(x) adódik, erre cseréljük le a cos²(x)-eket:

sin⁴(x)-2*√3*sin²(x)*(1-sin²(x))+3*(1-sin²(x))²=(1-√3)²*sin²(x)*(1-sin²(x)), itt pedig áttérünk másik ismeretlenre a jobb áttekinthetőség kedvéért;legyen sin²(x)=z, ekkor:

z²-2*√3*z*(1-z)+3*(1-z)²=(1-√3)²*z*(1-z), ezt az egyenletet már meg tudjuk oldani, mivel egy mezei másodfokú. Ha megvannak z értékei, abból a sin(x)=z átváltás miatt x értékeit is meg tudjuk adni.

b) Rendezzük az egyenletet: log₂(x+1)=log1/2(2x-1). Érdemes tudni azt az azonosságot, hogyha a logaritmus alapjának és számának vesszük a reciprokát, akkor a logaritmus értéke nem változik, tehát log1/2(2x-1)=log₂(1/2x-1). Ha ezt esetleg nem tudjuk, akkor lehet használni az "áttérés más alapú logaritmusra" nevű képletet; 2-es alapra van szükségünk, ezért a képlet szerint ezt kapjuk:

log₂(2x-1)/log₂(1/2)=log₂(2x-1)/(-1)=-log₂(2x-1)=log₂((2x-1)-1)=log₂(1/(2x-1)), tehát ugyanazt kaptuk.

Akárhogy is, ez lesz az egyenletből:

log₂(x+1)=log₂(1/(2x-1)), innen a már tanult módon megy a megoldás és az ellenőrzés.

18a). Ha a legkisebb szám x, akkor a legnagyobb szám x*q⁴, értelemszerűen ez legfeljebb 90 lehet, tehát x*q⁴≤90, ennek megoldása q≤⁴√ 90/x ; q értéke akkor lehet maximális, hogyha x=1, ekkor q≤~3,08, és mivel az ötöslottón egész számokat húznak ki, amik különböznek egymástól, ezért q lehetséges értékei a 2 és a 3.

Ha q=2, akkor x*2⁴≤90, vagyis x≤5,625, tehát a legkisebb szám az 1;2;3;4;5 számok közül kell, hogy kikerüljön. Ebben az esetben a sorozatok:

1;2;4;8;16
2;4;8;16;32
3;6;12;24;48
4;8;16;32;64
5;10;20;40;80.

Ha q=3, akkor x*3⁴≤90, vagyis x≤~1,11, tehát csak az 1 lehet a legkisebb szám, amit kihúznak, ekkor a sorozat: 1;3;9;27;81.

Ha az a kérdés, hogy hány különböző számcsoportra igaz az, hogy tagjai mértani sorozatot alkothatnak, akkor a válasz az, hogy 6.
Ha az a kérdés, hogy hány olyan húzás van, hogy a számok egymást követően mértani sorozatot alkotnak, akkor az a válasz, hogy 12 , mivel ha a fent számokat visszafelé írjuk le, akkor is mértani sorozat marad.
Ha az a kérdés, hogy hány olyan húzás van, hogy a számokból mértani sorozat alkotható, akkor arra az a válasz, hogy 6*5!, mivel minden esetben a számok 5!-féleképpen húzhatóak ki.

18b) Ugyanúgy kezdünk neki, mint az előbb; ha az első tag x, akkor a negyedik tag x+4d, ez megint csak legfeljebb 90 lehet, tehát x+4d≤90, erre d≤(90-x)/4. Itt is akkor kaphatjuk d maximális értékét, hogyha x=1, ekkor d≤22,25, tehát d értékei 1-től 22-ig bármi lehet. Innentől kezdve az a dolgunk, hogy d értékét fixáljuk:

Ha d=1, akkor x+4*1≤90, vagyis x≤86, 1-től 86-ig 86 szám van, tehát 86 olyan sorozat van, ahol a különbség 1.
Ha d=2, akkor x+4*2≤90, vagyis x≤82
Ha d=3, akkor x+4*3≤90, vagyis x≤78
.
.
.
Ha d=22, akkor x+4*22≤90, vagyis x≤2

Látható, hogy az x-re kapott eredmények számtani sorozatot alkotnak, így ezeket a számtani sorozat összegképletével összeadhatjuk, és ez az összeg adja ki, hogy hány esetben lehet számtani sorozat a számokból. Azonban itt is érvényesek az a)-nál leírt játékszabályok;

-Ha az a kérdés, hogy hány olyan húzás van, hogy egymás után számtani sorozatot alkotnak a számok, akkor a megoldás a fenti összeg kétszerese, mivel oda-vissza is felírhatóak a számok.
-Ha pedig az a kérdés, hogy hány esetben lehet a kihúzott számokból számtani sorozatot alkotni, akkor az a választ, hogy (a fenti összeg)*5!.