Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kombinatorika, binomiális együttható
fizikasegitseg
kérdése
1356
Bizonyítsuk be, hogy (n alatt a k-1)+2(n alatt a k)+(n alatt k+1)=(n+2 alatt a k+1)
(n alatt a k-2)+3(n alatt a k-1)+3(n alatt a k)+(n alatt a k+1)=(n+3 alatt a k+1)
(n alatt az 1)+2(n alatt a 2)+3(n alatt a 3)+...+n(n alatt az n)=2^(n-1)n. (Az n-1.-en van,amelyet még szorzunk n-nel.)
(n alatt a k-2)+3(n alatt a k-1)+3(n alatt a k)+(n alatt a k+1)=(n+3 alatt a k+1)
(n alatt az 1)+2(n alatt a 2)+3(n alatt a 3)+...+n(n alatt az n)=2^(n-1)n. (Az n-1.-en van,amelyet még szorzunk n-nel.)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
kombinatorika, Binomiális_együttható, Matematika, Gimnázium, algebra, 9. osztály
kombinatorika, Binomiális_együttható, Matematika, Gimnázium, algebra, 9. osztály
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
bongolo
{ 
}
megoldása
1) (n alatt a k-1)+2(n alatt a k)+(n alatt k+1)=(n+2 alatt a k+1)
(n alatt k-1) = n! / [ (n-k+1)! · (k-1)! ]
2(n alatt k) = 2·n! / [ (n-k)! · k! ]
(n alatt k+1) = n! / [ (n-k-1)! · (k+1)! ]
+++
A közös nevező (n-k+1)! · (k+1)!
A számláló: n!·(k+1)·k + 2n!·(n-k+1)·(k+1) + n!·(n-k+1)·(n-k)
= n!·( (k+1)k + (n-k+1)(2(k+1) + (n-k)) )
= n!·( k²+k + (n-k+1)(k+n+2) )
= n!·( k²+k + n²+3n+2-k²-k )
= n!·(n+2)(n+1)
= (n+2)!
Mivel (n+2) - (k+1) = (n-k+1), ezért a számláló/nevező = (n+2 alatt k+1)
(n alatt k-1) = n! / [ (n-k+1)! · (k-1)! ]
2(n alatt k) = 2·n! / [ (n-k)! · k! ]
(n alatt k+1) = n! / [ (n-k-1)! · (k+1)! ]
+++
A közös nevező (n-k+1)! · (k+1)!
A számláló: n!·(k+1)·k + 2n!·(n-k+1)·(k+1) + n!·(n-k+1)·(n-k)
= n!·( (k+1)k + (n-k+1)(2(k+1) + (n-k)) )
= n!·( k²+k + (n-k+1)(k+n+2) )
= n!·( k²+k + n²+3n+2-k²-k )
= n!·(n+2)(n+1)
= (n+2)!
Mivel (n+2) - (k+1) = (n-k+1), ezért a számláló/nevező = (n+2 alatt k+1)
Módosítva: 7 éve
1
-
fizikasegitseg: Nagyon szépen köszönöm, ez alapján már a többi nem fog problémát okozni számomra! Köszönöm!! 7 éve 0
-
bongolo: A második ugyanígy megy, a harmadikon még gondolkodom 7 éve 1
-
fizikasegitseg: A Pascal-háromszögben az n.sorban lévő számok összege 2^n. De tovább nem tudnám vezetni. 7 éve 0
bongolo
{ }
válasza
3) Nem magamtól jöttem rá...
A szumma 0-tól n-ig megy lentebb.
Tudjuk, hogy:
(1+x)n = Σ (n alatt k) · xk
Ennek a deriváltja x szerint:
n·(1+x)n-1 = Σ (n alatt k) · k·xk-1
behelyettesítve x=1-et ezt kapjuk:
n·2n-1 = Σ k · (n alatt k)
ami pont a kérdés.
----------
Másik megoldás deriválás nélkül:
k·(n alatt k) = k · n! / ( (n-k)! · k! )
A számláló máshogy:
k · n · (n-1)!
Mivel n-k = (n-1) - (k-1) ezért a nevező máshogy:
((n-1) - (k-1))! · (k-1)! · k
A k-val lehet egyszerűsíteni, ez jön ki:
k·(n alatt k) = n · (n-1)! / [ ((n-1) - (k-1))! · (k-1)! ]
k·(n alatt k) = n · (n-1 alatt k-1)
A szumma k = 1-től n-ig megy:
Σ k · (n alatt k) = n · Σ (n-1 alatt k-1)
Ha most bevezetünk k-1 helyett egy ℓ jelet, akkor a szumma ℓ=0-tól n-1-ig megy:
= n · Σ (n-1 alatt ℓ) = n · 2n-1
Ha a szumma jelölés nehezen érthető, írd ki összegként.
A szumma 0-tól n-ig megy lentebb.
Tudjuk, hogy:
(1+x)n = Σ (n alatt k) · xk
Ennek a deriváltja x szerint:
n·(1+x)n-1 = Σ (n alatt k) · k·xk-1
behelyettesítve x=1-et ezt kapjuk:
n·2n-1 = Σ k · (n alatt k)
ami pont a kérdés.
----------
Másik megoldás deriválás nélkül:
k·(n alatt k) = k · n! / ( (n-k)! · k! )
A számláló máshogy:
k · n · (n-1)!
Mivel n-k = (n-1) - (k-1) ezért a nevező máshogy:
((n-1) - (k-1))! · (k-1)! · k
A k-val lehet egyszerűsíteni, ez jön ki:
k·(n alatt k) = n · (n-1)! / [ ((n-1) - (k-1))! · (k-1)! ]
k·(n alatt k) = n · (n-1 alatt k-1)
A szumma k = 1-től n-ig megy:
Σ k · (n alatt k) = n · Σ (n-1 alatt k-1)
Ha most bevezetünk k-1 helyett egy ℓ jelet, akkor a szumma ℓ=0-tól n-1-ig megy:
= n · Σ (n-1 alatt ℓ) = n · 2n-1
Ha a szumma jelölés nehezen érthető, írd ki összegként.
Módosítva: 7 éve
1
-
fizikasegitseg: Köszönöm, de 9.-es vagyok így a deriválás még eléggé távol áll tőlem. Minden esetre azért leírom mindezt, és holnap villogok vele az iskolában. 7 éve 0
-
bongolo:
7 éve
0
-
bongolo: A hatvány deriváltja egyszerű dolog: x^n deriváltja n·x^(n-1) 7 éve 1
-
bongolo: Írtam deriválás nélküli megoldást is! 7 éve 1
-
fizikasegitseg: Nagyon szépen köszönöm! 7 éve 0