Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Kombinatorika, binomiális együttható

1388
Bizonyítsuk be, hogy (n alatt a k-1)+2(n alatt a k)+(n alatt k+1)=(n+2 alatt a k+1)
(n alatt a k-2)+3(n alatt a k-1)+3(n alatt a k)+(n alatt a k+1)=(n+3 alatt a k+1)
(n alatt az 1)+2(n alatt a 2)+3(n alatt a 3)+...+n(n alatt az n)=2^(n-1)n. (Az n-1.-en van,amelyet még szorzunk n-nel.)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
kombinatorika, Binomiális_együttható, Matematika, Gimnázium, algebra, 9. osztály
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
1) (n alatt a k-1)+2(n alatt a k)+(n alatt k+1)=(n+2 alatt a k+1)

(n alatt k-1) = n! / [ (n-k+1)! · (k-1)! ]
2(n alatt k) = 2·n! / [ (n-k)! · k! ]
(n alatt k+1) = n! / [ (n-k-1)! · (k+1)! ]
+++
A közös nevező (n-k+1)! · (k+1)!
A számláló: n!·(k+1)·k + 2n!·(n-k+1)·(k+1) + n!·(n-k+1)·(n-k)
= n!·( (k+1)k + (n-k+1)(2(k+1) + (n-k)) )
= n!·( k²+k + (n-k+1)(k+n+2) )
= n!·( k²+k + n²+3n+2-k²-k )
= n!·(n+2)(n+1)
= (n+2)!
Mivel (n+2) - (k+1) = (n-k+1), ezért a számláló/nevező = (n+2 alatt k+1)
Módosítva: 7 éve
1

3) Nem magamtól jöttem rá...

A szumma 0-tól n-ig megy lentebb.

Tudjuk, hogy:
(1+x)n = Σ (n alatt k) · xk
Ennek a deriváltja x szerint:
n·(1+x)n-1 = Σ (n alatt k) · k·xk-1

behelyettesítve x=1-et ezt kapjuk:
n·2n-1 = Σ k · (n alatt k)
ami pont a kérdés.

----------
Másik megoldás deriválás nélkül:

k·(n alatt k) = k · n! / ( (n-k)! · k! )
A számláló máshogy:
k · n · (n-1)!
Mivel n-k = (n-1) - (k-1) ezért a nevező máshogy:
((n-1) - (k-1))! · (k-1)! · k
A k-val lehet egyszerűsíteni, ez jön ki:
k·(n alatt k) = n · (n-1)! / [ ((n-1) - (k-1))! · (k-1)! ]
k·(n alatt k) = n · (n-1 alatt k-1)

A szumma k = 1-től n-ig megy:
Σ k · (n alatt k) = n · Σ (n-1 alatt k-1)
Ha most bevezetünk k-1 helyett egy ℓ jelet, akkor a szumma ℓ=0-tól n-1-ig megy:
= n · Σ (n-1 alatt ℓ) = n · 2n-1

Ha a szumma jelölés nehezen érthető, írd ki összegként.
Módosítva: 7 éve
1