Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kombinatorika, binomiális együttható
fizikasegitseg
kérdése
1388
Bizonyítsuk be, hogy (n alatt a k-1)+2(n alatt a k)+(n alatt k+1)=(n+2 alatt a k+1)
(n alatt a k-2)+3(n alatt a k-1)+3(n alatt a k)+(n alatt a k+1)=(n+3 alatt a k+1)
(n alatt az 1)+2(n alatt a 2)+3(n alatt a 3)+...+n(n alatt az n)=2^(n-1)n. (Az n-1.-en van,amelyet még szorzunk n-nel.)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
kombinatorika, Binomiális_együttható, Matematika, Gimnázium, algebra, 9. osztály
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
bongolo{ }
megoldása
1) (n alatt a k-1)+2(n alatt a k)+(n alatt k+1)=(n+2 alatt a k+1)
(n alatt k-1) = n! / [ (n-k+1)! · (k-1)! ]
2(n alatt k) = 2·n! / [ (n-k)! · k! ]
(n alatt k+1) = n! / [ (n-k-1)! · (k+1)! ]
+++
A közös nevező (n-k+1)! · (k+1)!
A számláló: n!·(k+1)·k + 2n!·(n-k+1)·(k+1) + n!·(n-k+1)·(n-k)
= n!·( (k+1)k + (n-k+1)(2(k+1) + (n-k)) )
= n!·( k²+k + (n-k+1)(k+n+2) )
= n!·( k²+k + n²+3n+2-k²-k )
= n!·(n+2)(n+1)
= (n+2)!
Mivel (n+2) - (k+1) = (n-k+1), ezért a számláló/nevező = (n+2 alatt k+1)
Módosítva: 7 éve
1
fizikasegitseg:
Nagyon szépen köszönöm, ez alapján már a többi nem fog problémát okozni számomra! Köszönöm!!
7 éve0
bongolo:
A második ugyanígy megy, a harmadikon még gondolkodom
7 éve1
fizikasegitseg:
A Pascal-háromszögben az n.sorban lévő számok összege 2^n. De tovább nem tudnám vezetni.
7 éve0
bongolo{ }
válasza
3) Nem magamtól jöttem rá...
A szumma 0-tól n-ig megy lentebb.
Tudjuk, hogy:
(1+x)n = Σ (n alatt k) · xk
Ennek a deriváltja x szerint:
n·(1+x)n-1 = Σ (n alatt k) · k·xk-1
behelyettesítve x=1-et ezt kapjuk:
n·2n-1 = Σ k · (n alatt k)
ami pont a kérdés.
----------
Másik megoldás deriválás nélkül:
k·(n alatt k) = k · n! / ( (n-k)! · k! )
A számláló máshogy:
k · n · (n-1)!
Mivel n-k = (n-1) - (k-1) ezért a nevező máshogy:
((n-1) - (k-1))! · (k-1)! · k
A k-val lehet egyszerűsíteni, ez jön ki:
k·(n alatt k) = n · (n-1)! / [ ((n-1) - (k-1))! · (k-1)! ]
k·(n alatt k) = n · (n-1 alatt k-1)
A szumma k = 1-től n-ig megy:
Σ k · (n alatt k) = n · Σ (n-1 alatt k-1)
Ha most bevezetünk k-1 helyett egy ℓ jelet, akkor a szumma ℓ=0-tól n-1-ig megy:
= n · Σ (n-1 alatt ℓ) = n · 2n-1
Ha a szumma jelölés nehezen érthető, írd ki összegként.
Módosítva: 7 éve
1
fizikasegitseg:
Köszönöm, de 9.-es vagyok így a deriválás még eléggé távol áll tőlem. Minden esetre azért leírom mindezt, és holnap villogok vele az iskolában.
7 éve0
bongolo:7 éve0
bongolo:
A hatvány deriváltja egyszerű dolog: x^n deriváltja n·x^(n-1)
7 éve1
bongolo:
Írtam deriválás nélküli megoldást is!
7 éve1