Számjegy

Azt tudjuk, hogy a 10-hatványok hány számjegyből állnak;

10⁰=1, 1 számjegyből áll
10¹=10, 2 számjegyből áll
10²=100, 3 számjegyből áll
.
.
.
10ⁿ=10000..., ahol az 1 után n darab 0 áll, tehát n+1 számjegyből áll.

Így már csak az a kérdés, hogy melyik a legnagyobb 10-hatvány, amelyiknél nagyobb, tehát:

10ⁿ<2¹⁰⁰⁰, vesszük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, ekkor:

n<lg(2¹⁰⁰⁰), használhatjuk a logaritmus azonosságát:

n<1000*lg(2), és itt lg(2) értékét megfelelő pontossággal kell megadnunk; az a jó pontosság, amelyre a lefelé kerekített érték már nem változik;

ha lg(2)=0,3010, akkor n<1000*0,3010=301
ha lg(2)=0,30103, akkor n<1000*0,30103=301,03, itt már változott az érték, mivel az előzőnek nem lenne megoldása az n=301, de ennek már igen.
Ha tovább folytatjuk, akkor az 1000-rel való szorzás tulajdonsága miatt csak a tizedesjegyek száma bővül, így ez a kerekítés megfelelő lesz, tehát n=301 a legnagyobb megoldása ennek az egyenlőtlenségnek, vagyis a szám nagyobb 10³⁰¹-nél, ez pedig az előző megállapítás miatt 302 számjegyből áll, tehát 2¹⁰⁰⁰ is 302 számjegyből áll.

WolframAlphával lehet ellenőriztetni:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E1000

Valóban 302 számjegyből áll.