Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kordinátageometria
andi217
kérdése
563
Adott az ABC háromszög síkjában az e egyenes. Keresse meg az e egyenesen azt a P pontot, amelyre a PA^2(PA a négyzeten)+PB^2(PB a négyzeten)+PC^2(PC a négyzeten) összege minimális!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Az A, B és C pontok merőleges vetületei az e egyenesre az A', B' és C' pontok.
A merőleges vetítő szakaszok hossza ma, mb és mc.
Pitagorasz:
PA² = PA' ² + ma²
PB² = PB' ² + mb²
PC² = PC' ² + mc²
Ezek összegében az mx² tagok konstansok, vagyis elég az A', B', C' pontoktól való távolságok négyzetét minimalizálni.
Nevezzük a pontokat el úgy ABC-nek, hogy a vetületek A'B'C' sorrendben legyenek, szóval B' legyen A' és C' között. (A P pont is valahol az A' és C' között lesz.)
Az A' pont legyen ezentúl egy "bázis", ahhoz képest nézzük a többi pont helyét.
A B'A' szakasz hossza b.
A C'A' szakasz hossza c.
A PA' szakasz hossza pedig x.
Ezekkel kifejezve PB' hossza |x-b|, PC' hossza pedig |x-c|
Amit keresünk, az az x² + (x-b)² + (x-c)² minimuma.
x² + (x-b)² + (x-c)² = 3x² - 2(b+c)x + (b²+c²)
Alakítsuk ezt teljes négyzetté:
= (√3·x - (b+c)/√3)² - (b+c)²/3 + (b²+c²)
Ennek ott van a minimuma, ahol a négyzetes tag nulla:
√3·x = (b+c)/√3
x = (b+c)/3
A merőleges vetítő szakaszok hossza ma, mb és mc.
Pitagorasz:
PA² = PA' ² + ma²
PB² = PB' ² + mb²
PC² = PC' ² + mc²
Ezek összegében az mx² tagok konstansok, vagyis elég az A', B', C' pontoktól való távolságok négyzetét minimalizálni.
Nevezzük a pontokat el úgy ABC-nek, hogy a vetületek A'B'C' sorrendben legyenek, szóval B' legyen A' és C' között. (A P pont is valahol az A' és C' között lesz.)
Az A' pont legyen ezentúl egy "bázis", ahhoz képest nézzük a többi pont helyét.
A B'A' szakasz hossza b.
A C'A' szakasz hossza c.
A PA' szakasz hossza pedig x.
Ezekkel kifejezve PB' hossza |x-b|, PC' hossza pedig |x-c|
Amit keresünk, az az x² + (x-b)² + (x-c)² minimuma.
x² + (x-b)² + (x-c)² = 3x² - 2(b+c)x + (b²+c²)
Alakítsuk ezt teljes négyzetté:
= (√3·x - (b+c)/√3)² - (b+c)²/3 + (b²+c²)
Ennek ott van a minimuma, ahol a négyzetes tag nulla:
√3·x = (b+c)/√3
x = (b+c)/3
0
- Még nem érkezett komment!