Ha a levezetés nem érdekel vagy nem kell tudnod, ugorj a vonalhoz.

Feltételezem, hogy a feszültségosztó terheletlen, vagyis a jobbra kiálló vezetéken nem folyik semennyi áram. Ez esetben az ellenálláson és a kondenzátoron átfolyó áram azonos, és az alábbi egyenleteket tudjuk felírni:

`u_C + u_R = U_\text{VCC}` (Kirchhoff II.)
`u_R = R i` (Ohm-törvény)
`i = C (d u_C)/(dt)` (a kondenzátor definíciója)

A hármat egy egyenletbe írva:

`RC (du_C)/(dt) + u_C = U_\text{VCC}`

Ez egy elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet a kondenzátor feszültségére. Az ilyen diffegyenlet sokféleképpen megoldható, például Fourier- vagy Laplace-transzformációval, vagy összetevőkre bontással. Nézzük ez utóbbit. A keresett `u_C(t)` időfüggvény felbontható egy stacionárius és egy tranziens összetevőre. A stacionárius összetevőt próbafüggvényes módszerrel kereshetjük meg: feltételezzük, hogy a megoldás stacionárius összetevője a gerjesztéshez hasonló. A gerjesztés jelen esetben egy konstans tápfeszültség, így a stacionárius összetevőt is egy konstans feszültség alakjában keressük: `u_{C,\text{st}}=U`. Ezt behelyettesítve a diffegyenletbe:

`RC (dU)/(dt)+U=U_\text{VCC}`

`U` konstans, tehát a deriváltja nulla:

`U=U_\text{VCC}`

Ezzel a stacionárius összetevő meg is van, a tápfeszültséggel azonos. A tranziens összetevő pedig a homogén (gerjesztés nélküli) diffegyenlet megoldása, ez mindig `u_{C,\text{tr}}=K e^{lambda t}` alakú, a kérdés `K` és `lambda` értéke. Helyettesítsük ezt be az egyenletbe:

`RC d/(dt) [K e^{lambda t}]+K e^{lambda t}=0`

`RC K lambda e^{lambda t}+K e^{lambda t}=0`

`K e^{lambda t}(RC lambda + 1)=0`

Ez csak úgy lehet minden `t` időpont esetén igaz, ha `RC lambda +1 = 0`, azaz `lambda = -1/(RC)`. (Matematikailag a `K=0` is megoldás, de nyilván az azonosan nulla időfüggvény fizikailag nem érdekes.)

Tehát a teljes megoldás:

`u_C(t)=u_{C,\text{st}}+u_{C,\text{tr}}=U_\text{VCC}+K e^{-t/(RC)}`

Ez a differenciálegyenlet általános megoldása, nekünk viszont még a `K` paramétert is meg kell határoznunk, ami a kezdeti feltételekből jön ki. A kezdeti feltétel töltetlen kondenzátor esetén: `u_C(t=0)=0` (a kondenzátor feszültségének a bekapcsolás pillanatában nem lehet ugrása, mert akkor a deriválás miatt az árama végtelen nagy lenne). Írjuk fel a fenti egyenletet a `t=0` időpontra, és ebből megkapjuk `K`-t:

`0=U_\text{VCC}+K e^{-0/(RC)}`

`0=U_\text{VCC}+K`

`K=-U_\text{VCC}`

---------------------------------------------------------------------

Tehát a keresett időfüggvény:

`u_C(t)=U_\text{VCC}- U_\text{VCC}e^{-t/(RC)}=``U_\text{VCC}(1- e^{-t/(RC)})`

Nem tudom, hogy a levezetést kell-e tudnod, de ezt az eredményt biztosan. Szemléletesen azt írja le a függvény, hogy a kondenzátor feszültsége nullából indulva, `RC` időállandóval, "konkáv exponenciális" jelleggel emelkedve tart a tápfeszültséghez. Mellékeltem ábrát a függvényről.

Most az a kérdés, hogy mely `t` pillanatban éri el a tápfeszültség felét:

`U_\text{VCC}(1-e^{-t/(RC)})=(U_\text{VCC})/2`

`e^{-t/(RC)}=1/2`

`-t/(RC)=-ln 2`

`t=R*C*ln 2=``8*10^3*120*10^-9*ln 2~~``6.65421*10^-4 \ \text{s}=665.421 \ \mu \text{s}`