Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Valszám

45
187 ember 187 esernyőjét elkeverik egy színházi előadás alatt. Mennyi
a valószínűsége, hogy legalább egy ember a saját esernyőjével megy
haza?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Legyen `H_i` azon esernyőkiosztások halmaza, amelyekben az `i`-edik ember a saját esernyőjét kapja (de nem feltétlenül csak ő). Ekkor a maradék 186 ember között `186!`-féleképpen oszthatjuk ki az esernyőket, tehát `|H_i|=186!`.

Hány olyan eset van, amikor az `i`-edik és a `j`-edik ember is a saját esernyőjét kapja? Kiadjuk `i`-nek és `j`-nek az esernyőjüket, majd a maradék 185 ember között `185!`-féleképpen szétosztjuk a maradékot. A halmazainkkal megfogalmazva ez `H_i` és `H_j` metszetének elemszámát jelenti, azaz `|H_i \cap H_j|=185!`. Azt is érdemes még megjegyezni, hogy ezt a két embert `((187),(2))`-féleképpen választhatjuk ki, azaz ennyi halmazpár van, aminek a metszetét képezhetjük. Hasonlóan, `|H_i \cap H_j \cap H_k|=184!`, őket `((187),(3))`-féleképpen választhatjuk ki, és így tovább.

Hány olyan eset van, amikor legalább egy ember a saját esernyőjét kapja? Ezt az összes halmaz uniójának elemszáma adja meg, ami a szitaformulával fejthető ki: összeadjuk az egyes halmazok elemszámát, levonjuk az összes halmazpár elemszámát, hozzáadjuk az összes halmazhármas elemszámát, és így tovább. Tehát:

`|H_1 \cup H_2 \cup ... \cup H_187|=``187*186!-((187),(2))*185!+((187),(3))*184!-...-((187),(186))*1!+((187),(187))*0! =``sum_{n=1}^{187}(-1)^(n+1)*((187),(n))*(187-n)! =``sum_{n=1}^{187}(-1)^(n+1)*(187!)/(n!(187-n)!)*(187-n)! =``187!*sum_{n=1}^{187}((-1)^(n+1))/(n!)`

Ennyi a kedvező esetek száma, az összes lehetséges kiosztásé pedig `187!`, tehát a kérdezett valószínűség:

`P=sum_{n=1}^{187}((-1)^(n+1))/(n!)`

Tulajdonképpen készen vagyunk, de a konkrét értékre még adhatunk egy szép becslést. Ugyanis:

`P=sum_{n=1}^{187}((-1)^(n+1))/(n!)=``-sum_{n=1}^{187}((-1)^(n))/(n!)=``1-sum_{n=0}^{187}((-1)^(n))/(n!)~~``1-e^-1~~63.2%`

(Mert `e^x=sum_{n=0}^{oo} (x^n)/(n!)`.)
0