Két változó van, itt majd parciális deriváltakat kell csinálni.
Másodrendű, vagyis második deriváltig kell elmenni.

Általánosságban így van a Taylor az (a,b) pont körül:
f(a,b) + (x-a)·fx(a,b) + (y-b)·fy(a,b) + 1/2! · ((x-a)²·fxx(a,b) + 2(x-a)(x-b)·fxy + (y-b)²·fyy(a,b))

Az alsó index x illetve y azt jelenti, hogy olyan parciális derivált kell.
fx = ∂/∂x arctg(x-2y) = 1 / [(x-2y)² + 1]
fy = ∂/∂y arctg(x-2y) = -2 / [(x-2y)² + 1]
fxy = ∂²/∂x∂y arctg(x-2y) = ∂/∂y 1 / [(x-2y)² + 1] = (-1 / [(x-2y)² + 1]² ) · 2·(x-2y)·(-2) = 4·(x-2y) / [(x-2y)² + 1]²
A maradék két deriváltat csináld meg te...
Aztán be kell persze helyettesíteni (3, 1)-et...

Ugye menni fog?