Nem értem pontosan, hogy mit akar jelenteni ez a "bontsa fel" dolog...
Ha azt jelenti, hogy ki kell találni az integrálási határokat, akkor:

Először is rajzold meg a H halmazt a koordinátarendszerben, abból látszik, hol kell integrálni.

1) Ha a belső integrálban van az y:
1   ex
∫ x ∫ 2y dy dx
0   √x

2) Ha a belső integrálban van az x
Ilyenkor két tartományra kell bontani, mert egy függvénnyel nem írható le:
- A H halmaz "alja": bal oldalon az y tengely, jobbra pedig a √x határolja. y=√x átalakul y²=x-re:
1    y²
∫ y ∫ 2x dx dy
0    0
Ehhez kell hozzáadni ezt:
- A H halmaz "teteje": jobb oldalon az x=-1 egyenes, bal oldalon az y=ex határolja. Ez átalakul abba, hogy ln y = x. Ezek a görbék az (1;e) pontban metszik egymást, odáig megy az integrálás.
e     1
∫ y ∫ 2x dx dy
1   ln y

Kiszámolni talán az 1)-essel a könnyebb, ott legalább csak egy kettős integrál van:

A belső integrál: ∫ 2y dy = y²
Ez √x-től ee-ig megy, tehát = e2x - x

A külső: ∫ x·e2x - x² dx
Az x² egyszerű, x³/3.
Az x·e2x trükkösebb, először érdemes parciális integrálást csinálni:
f ' = e2x, g=x
f = e2x/2, g'=1
∫ e2x·x dx = e2x·x/2 - ∫ e2x/2 dx
= e2x·x/2 - e2x/4

Ne feledkezzünk meg az x³/3-ról sem, ez a teljes integrál:
e2x·x/2 - e2x/4 - x³/3

És a határok 0-tól 1-ig vannak:
(e²/2 - e²/4 - 1/3) - (1/2 - 1/4) = e²/4 - 7/12