Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

SOS!! Egyszerű matek házi számelméletből

37
Valaki légyszi segítsen bizonyítani ezt a 2 feladatot!
Előre is nagyon szépen köszönöm

Bizonyítsuk be, hogy 4+n2 +2 minden egész n-re teljesül.
( a négyes után egy áthúzott vonal van , azaz nem osztója)

6. Bizonyítás II.
Bizonyítsuk be, hogy minden n egész szám esetén:
a) n2 — n osztható 2-vel
b) n3 – n osztható 6-tal
c) n5 – n osztható 30-cal.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
1. állítás bizonyításánál azt, kell belátni, hogy a négyes maradék sohasem lehet zérus.
Ha n páros, akkor `n=2k` és akkor a maradék `2`, azaz `n^2+2=(2k)^2+2=4*k^2+2`.
Ha n páratlan, akkor `n=2k+1` és akkor a maradék `3`, azaz `n^2+2=(2k+1)^2+2=4*k^2+4*k+3`.

2/a állítás bizonyításánál azt kell felhasználni, hogy két egymást követő egész szám mindig osztható 2-vel.
Ha n páros, akkor `n=2k` és akkor a maradék `0`, azaz `n^2-n=(2k)^2-2k=4*k^2-2k+0`.
Ha n páratlan, akkor `n=2k+1` és akkor is a maradék `0`, azaz `(2k+1)^2-(2k+1)=4*k^2+4*k+1-`.
`-2k-1=4*k^2+2*k+0`
2/b állítás bizonyításánál azt kell felhasználni, hogy három egymást követő egész szám mindig osztható 6-al.
"Józan par...szti ésszel" is látható, hogy `n^3-n=(n-1)*n*(n+1)`. Nos három egymást követő egész szám közül az egyik mindig páros és az egyik mindig osztható lesz hárommal is. Azok az egészek amelyek oszthatók `2`-vel is és `3`-mal is azok oszthatók lesznek `6`-al is. 2/a állításnál már beláttuk, hogy `(n-1)*n` szorzat osztható 2-vel. Belátjuk, hogy `n^3-n` osztható 3-mal is.
Legyen tehát `n=3k+1`. Ekkor `(3*k+1)^3-(3*k+1)=3*k*(3*k+1)*(3*k+2).`
Ha `n=3*k+2`, akkor `(3*k+2)^3-(3*k+2)=3*k*(3*k+2)*(3*k+4*k+1).`
Ha `n=3*k`, akkor nyilvánvalóan adódik a `3`-mal való oszthatóság `(n-1)*n*(n+1)` alakból.

2/c bizonyításánál bevezetve `f(n):=n^5-n` jelölést és élve annak `f(n)=n(n+1)(n-1)(n^2+1)` felbontásával
kapjuk, hogy alkalmazható a 2/b állítás. Tudniillik, hogy a vizsgált alak osztható `6`-al.
Felhasználva azt az oszthatósági szabályt, miszerint a `30`-al osztható számok oszthatók `6`-al is és `5`-el is. Már csak annak `5`-el való oszthatósága van hátra. Rendre behelyettesítve az `n` ötféle alakját, kapjuk a következő szorzatokat:

`f(5·k + 1)=5·k·(5·k + 1)·(125·k^3 + 100·k^2 + 30·k + 4)`

`f(5·k + 2)=5·(5·k + 2)·(125·k^4 + 200·k^3 + 120·k^2 + 32·k + 3)`

`f(5·k + 3)=5·(5·k + 3)·(125·k^4 + 300·k^3 + 270·k^2 + 108·k + 16)`

`f(5·k + 4)=5·(5·k + 4)·(125·k^4 + 400·k^3 + 480·k^2 + 256·k + 51)`

`f(5·k)=3125·k^5 - 5·k`

Ezekből azonnal adódik, hogy f(n) osztható 5-el is.
Módosítva: 1 hete
1