Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
SOS!! Egyszerű matek házi számelméletből
helloka
kérdése
353
Valaki légyszi segítsen bizonyítani ezt a 2 feladatot!
Előre is nagyon szépen köszönöm
Bizonyítsuk be, hogy 4+n2 +2 minden egész n-re teljesül.
( a négyes után egy áthúzott vonal van , azaz nem osztója)
6. Bizonyítás II.
Bizonyítsuk be, hogy minden n egész szám esetén:
a) n2 — n osztható 2-vel
b) n3 – n osztható 6-tal
c) n5 – n osztható 30-cal.
Előre is nagyon szépen köszönöm
Bizonyítsuk be, hogy 4+n2 +2 minden egész n-re teljesül.
( a négyes után egy áthúzott vonal van , azaz nem osztója)
6. Bizonyítás II.
Bizonyítsuk be, hogy minden n egész szám esetén:
a) n2 — n osztható 2-vel
b) n3 – n osztható 6-tal
c) n5 – n osztható 30-cal.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
gyula205
megoldása
1. állítás bizonyításánál azt, kell belátni, hogy a négyes maradék sohasem lehet zérus.
Ha n páros, akkor `n=2k` és akkor a maradék `2`, azaz `n^2+2=(2k)^2+2=4*k^2+2`.
Ha n páratlan, akkor `n=2k+1` és akkor a maradék `3`, azaz `n^2+2=(2k+1)^2+2=4*k^2+4*k+3`.
2/a állítás bizonyításánál azt kell felhasználni, hogy két egymást követő egész szám mindig osztható 2-vel.
Ha n páros, akkor `n=2k` és akkor a maradék `0`, azaz `n^2-n=(2k)^2-2k=4*k^2-2k+0`.
Ha n páratlan, akkor `n=2k+1` és akkor is a maradék `0`, azaz `(2k+1)^2-(2k+1)=4*k^2+4*k+1-`.
`-2k-1=4*k^2+2*k+0`
2/b állítás bizonyításánál azt kell felhasználni, hogy három egymást követő egész szám mindig osztható 6-al.
"Józan par...szti ésszel" is látható, hogy `n^3-n=(n-1)*n*(n+1)`. Nos három egymást követő egész szám közül az egyik mindig páros és az egyik mindig osztható lesz hárommal is. Azok az egészek amelyek oszthatók `2`-vel is és `3`-mal is azok oszthatók lesznek `6`-al is. 2/a állításnál már beláttuk, hogy `(n-1)*n` szorzat osztható 2-vel. Belátjuk, hogy `n^3-n` osztható 3-mal is.
Legyen tehát `n=3k+1`. Ekkor `(3*k+1)^3-(3*k+1)=3*k*(3*k+1)*(3*k+2).`
Ha `n=3*k+2`, akkor `(3*k+2)^3-(3*k+2)=3*k*(3*k+2)*(3*k+4*k+1).`
Ha `n=3*k`, akkor nyilvánvalóan adódik a `3`-mal való oszthatóság `(n-1)*n*(n+1)` alakból.
2/c bizonyításánál bevezetve `f(n):=n^5-n` jelölést és élve annak `f(n)=n(n+1)(n-1)(n^2+1)` felbontásával
kapjuk, hogy alkalmazható a 2/b állítás. Tudniillik, hogy a vizsgált alak osztható `6`-al.
Felhasználva azt az oszthatósági szabályt, miszerint a `30`-al osztható számok oszthatók `6`-al is és `5`-el is. Már csak annak `5`-el való oszthatósága van hátra. Rendre behelyettesítve az `n` ötféle alakját, kapjuk a következő szorzatokat:
`f(5·k + 1)=5·k·(5·k + 1)·(125·k^3 + 100·k^2 + 30·k + 4)`
`f(5·k + 2)=5·(5·k + 2)·(125·k^4 + 200·k^3 + 120·k^2 + 32·k + 3)`
`f(5·k + 3)=5·(5·k + 3)·(125·k^4 + 300·k^3 + 270·k^2 + 108·k + 16)`
`f(5·k + 4)=5·(5·k + 4)·(125·k^4 + 400·k^3 + 480·k^2 + 256·k + 51)`
`f(5·k)=3125·k^5 - 5·k`
Ezekből azonnal adódik, hogy f(n) osztható 5-el is.
Ha n páros, akkor `n=2k` és akkor a maradék `2`, azaz `n^2+2=(2k)^2+2=4*k^2+2`.
Ha n páratlan, akkor `n=2k+1` és akkor a maradék `3`, azaz `n^2+2=(2k+1)^2+2=4*k^2+4*k+3`.
2/a állítás bizonyításánál azt kell felhasználni, hogy két egymást követő egész szám mindig osztható 2-vel.
Ha n páros, akkor `n=2k` és akkor a maradék `0`, azaz `n^2-n=(2k)^2-2k=4*k^2-2k+0`.
Ha n páratlan, akkor `n=2k+1` és akkor is a maradék `0`, azaz `(2k+1)^2-(2k+1)=4*k^2+4*k+1-`.
`-2k-1=4*k^2+2*k+0`
2/b állítás bizonyításánál azt kell felhasználni, hogy három egymást követő egész szám mindig osztható 6-al.
"Józan par...szti ésszel" is látható, hogy `n^3-n=(n-1)*n*(n+1)`. Nos három egymást követő egész szám közül az egyik mindig páros és az egyik mindig osztható lesz hárommal is. Azok az egészek amelyek oszthatók `2`-vel is és `3`-mal is azok oszthatók lesznek `6`-al is. 2/a állításnál már beláttuk, hogy `(n-1)*n` szorzat osztható 2-vel. Belátjuk, hogy `n^3-n` osztható 3-mal is.
Legyen tehát `n=3k+1`. Ekkor `(3*k+1)^3-(3*k+1)=3*k*(3*k+1)*(3*k+2).`
Ha `n=3*k+2`, akkor `(3*k+2)^3-(3*k+2)=3*k*(3*k+2)*(3*k+4*k+1).`
Ha `n=3*k`, akkor nyilvánvalóan adódik a `3`-mal való oszthatóság `(n-1)*n*(n+1)` alakból.
2/c bizonyításánál bevezetve `f(n):=n^5-n` jelölést és élve annak `f(n)=n(n+1)(n-1)(n^2+1)` felbontásával
kapjuk, hogy alkalmazható a 2/b állítás. Tudniillik, hogy a vizsgált alak osztható `6`-al.
Felhasználva azt az oszthatósági szabályt, miszerint a `30`-al osztható számok oszthatók `6`-al is és `5`-el is. Már csak annak `5`-el való oszthatósága van hátra. Rendre behelyettesítve az `n` ötféle alakját, kapjuk a következő szorzatokat:
`f(5·k + 1)=5·k·(5·k + 1)·(125·k^3 + 100·k^2 + 30·k + 4)`
`f(5·k + 2)=5·(5·k + 2)·(125·k^4 + 200·k^3 + 120·k^2 + 32·k + 3)`
`f(5·k + 3)=5·(5·k + 3)·(125·k^4 + 300·k^3 + 270·k^2 + 108·k + 16)`
`f(5·k + 4)=5·(5·k + 4)·(125·k^4 + 400·k^3 + 480·k^2 + 256·k + 51)`
`f(5·k)=3125·k^5 - 5·k`
Ezekből azonnal adódik, hogy f(n) osztható 5-el is.
Módosítva: 3 éve
1
-
helloka: k- val mit jelöltél? 3 éve 0
-
gyula205: n belső változója, ami szintén egész szám. 5-nél maradva öt féle maradék jöhet szóba. Arra volt alkalmas, hogy megvizsgáljuk mind az öt esetet. 3 éve 0
-
gyula205: Tehát 2/b bizonyításánál három esetet vizsgáltam meg és ott is k-val jelöltem ezt a belső változót: `3*k`,`3*k+1`,`3*k+2`. Remélem érted miről van szó? 3 éve 0
-
helloka: Igen köszönöm szépen a gyors segítséget!
3 éve
0