Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Diffegyenlet

41
Egy 100 kg tömegű motorcsónak állóvízben 20 km/h sebességgel halad, majd a motorja leáll,
utána 25 mp alatt a sebessége 5 km/h-ra csökken. A víz ellenállásának hatására a motorcsónak
lassulása (gyorsulásának ellentettje) egyenesen arányos a pillanatnyi sebességével. Írja fel a
motorcsónak sebességét az idő függvényében.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Differenciálegyenletek, egyenletek, differenciálás
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
Elvileg a megoldás:

v(t)=20e-ln(4)/25 *t

A kérdés, hogy ez hogy jön ki?
Módosítva: 1 hete
0

"a víz ellenállásának hatására a motorcsónak lassulása (gyorsulásának ellentettje) egyenesen arányos a pillanatnyi sebességével" - Avagy differenciálegyenlettel: `dot v=- alpha v`. Ennek az általános megoldását azonnal tudjuk, mert az exponenciális az a függvény, ami önmaga deriváltjával arányos: `v(t)=Ce^{-alpha t}`. A `C` és `alpha` konstansok a feladatban megadott feltételekből határozhatók meg:

`v(0)=20`
`v(25)=5`

(Az időt másodpercben, a sebességet km/h-ban mérjük, `t=0` a motor leállásának időpontját jelenti.) Behelyettesítve az általános megoldást az első feltételbe:

`C*e^{-alpha*0}=20`

Innen `C=20`. A második feltételből pedig megvan `alpha`:

`20*e^{-alpha*25}=5`

`e^{-alpha*25}=1/4`

`-alpha*25=-ln 4`

`alpha=(ln 4)/25`

Tehát a partikuláris megoldás:

`v(t)=20e^{-(ln 4)/25 t}`
Módosítva: 1 hete
1