Nézd meg ezt a képet! Lehet, hogy bonyolult, de nekem ez jutott eszembe:

Kicsit kacskaringós, de jó a megoldásod. :-)

Legyen
a, b - a derékszögű háromszög befogói (a < b)
λf - a szögfelező által felosztott átfogó részeinek hányadosa
λm - a magasság által felosztott átfogó részeinek hányadosa

A szögfelező tétel szerint a szögfelező a talpponti oldalát a közrefogó oldalak arányában osztja,
λf = a/b

A befogó tétel szerint
c*ca = a²
c*cb = b²
ahol
c - a derékszögű háromszög átfogója
ca és cb a befogók merőleges vetülete a magasság által felosztott átfogón

A két egyenlet hányadosa
ca/cb = (a/b)²
Mivel a bal oldal a keresett arány
ca/cb = λm
és
a/b = λf
a feladat megoldása
λm = λf²
*********