Matek

Ha n=2k:
2^n + 105 = (2^k + m)² alakban keressük a megoldást
2^(2k) + 105 = 2^(2k) + 2·m·2^k + m²
105 = 3·5·7 = m · (m + 2^(k+1))
Ezért m vagy 1, vagy osztható 3-mal, 5-tel vagy 7-tel.
mivel m < m+2^(k+1), ezért m csak 1, 3, 5 vagy 7 lehet (15 már nem, se nagyobb)
105/m = m + 2^(k+1)
m=1: 105/1 = 1 + 104, nem jó, 104 nem 2 hatvány
m=3: 105/3 = 35 = 3 + 32, (k=4) → 2⁸ + 105 = (16+3)²
m=5: 105/5 = 21 = 5 + 16, (k=3) → 2⁶ + 105 = (8+5)²
m=7: 105/7 = 15 = 7 + 8, (k=2) → 2⁴ + 105 = (4+7)²

Ez a három megoldás van.
Be kellene látni, hogy n=2k+1 esetén nincs megoldás...

Ha n=2k+1:
2^n + 105 = (2^k + m)² alakban keressük a megoldást
2·2^(2k) + 105 = 2^(2k) + 2·m·2^k + m²
2^(2k) + 105 = 2·m·2^k + m²
105 = 2^k · (2m - 2^k) + m²

m páratlan kell legyen, m=2r+1
104+1 = 2^k · (2m - 2^k) + 4r² + 4r + 1
52 = 2^k · (m - 2^(k-1)) + 2r² + 2r
26 = 2^(k-1)·(m - 2^(k-1)) + r² + r

Hmm, nem forog már az agyam, eddig jutottam...