1. feladat:
2sin2x + 3sinx - 5 = 0
sinx -re egy másodfokú egyenlet. Bevezetünk új ismeretlent sinx helyett:
Legyen: y = sinx
Ekkor a megoldandó egyenlet:
2y2 + 3y - 5 = 0
D = 32 - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49 = 72
y1,2 = ( -3 ± 7) / (2 * 2)
y1 = (-3 + 7) / 4 = 4/4 = 1
y2 = (-3 - 7) / 4 = -10/4 = -5/2 = -2,5 Nem megoldás, mert y = sinx nem lehet -1-nél kisebb.

Visszahelyettesítünk y-ba:
sinx = 1
x = π/2 + k * 2π (k ε Z)

2. feladat:
2tg2x - 4tgx + 2 = 0
Értelmezési tartomány:
x ≠ π/2 + k * π (k ε Z)

2tg2x - 4tgx + 2 = 0 / : 2
tg2x - 2tgx + 1 = 0
tgx -re egy másodfokú egyenlet. Bevezetünk új ismeretlent sinx helyett:
Legyen: y = tgx
Ekkor a megoldandó egyenlet:
y2 - 2y + 1 = 0
D = (-2)2 - 4 * 1 * 1= 4 - 4 = 0 = 02 (az egyenletnek 1 megoldása van)
y = ( 2 ± 0) / 2 = 2/2 = 1

Visszahelyettesítünk y-ba:
tgx = 1
x = π/4 + k * π (k ε Z)

f(x) = sinx függvény jellemzése:

Értelmezési tartomány: Df : x ε R

Értékkészlet: Rf : -1 ≤ f(x) (vagy y) ≤ 1 vagy intervallummal megadva: f(x) ε [ -1 ; 1 ] illetve y ε [ -1 ; 1 ]

Zérushely: x = 0 + k * π (k ε Z) (ahol a függvény az x-tengelyt metszi)

Menete (monotonítása) :
-π/2 + k * 2π < x < π/2 + k * 2π (k ε Z) vagy intervallummal: x ε ] -π/2 + k * 2π ; π/2 + k * 2π [ (k ε Z) szigorúan monoton növekvő
π/2 + k * 2π < x < 3π/2 + k * 2π (k ε Z) vagy intervallummal: x ε ] π/2 + k * 2π ; 3π/2 + k * 2π [ (k ε Z) szigorúan monoton csökkenő

Szélső értékek:
Minimum hely: x = -π/2 + k * 2π (k ε Z)
Minimum érték: f(x) = -1 vagy y = -1
Maximum hely: x = π/2 + k * 2π (k ε Z)
Maximum érték: f(x) = +1 vagy y = +1

Periódikus: periódusa: 2π

Folytonos: szakadási pontja nincs

Paritása: páratlan, mert sin(-x) = - sinx (szimmetrikus a függvény az origóra)



f(x) = cosx függvény jellemzése:

Értelmezési tartomány: Df : x ε R

Értékkészlet: Rf : -1 ≤ f(x) (vagy y) ≤ 1 vagy intervallummal megadva: f(x) ε [ -1 ; 1 ] illetve y ε [ -1 ; 1 ]

Zérushely: x = π/2 + k * π (k ε Z) (ahol a függvény az x-tengelyt metszi)

Menete (monotonítása) :
0 + k * 2π < x < π + k * 2π (k ε Z) vagy intervallummal: x ε ] 0 + k * 2π ; π + k * 2π [ (k ε Z) szigorúan monoton csökkenő
π + k * 2π < x < 2π + k * 2π (k ε Z) vagy intervallummal: x ε ] π + k * 2π ; 2π + k * 2π [ (k ε Z) szigorúan monoton növekvő

Szélső értékek:
Minimum hely: x = π + k * 2π (k ε Z)
Minimum érték: f(x) = -1 vagy y = -1
Maximum hely: x = 0 + k * 2π (k ε Z)
Maximum érték: f(x) = +1 vagy y = +1

Periódikus: periódusa: 2π

Folytonos: szakadási pontja nincs

Paritása: páros, mert cos(-x) = cosx (szimmetrikus a függvény az y-tengelyre)



f(x) = tgx függvény jellemzése:

Értelmezési tartomány: Df : x ε R \ { π/2 + k * π } (k ε Z)

Értékkészlet: Rf : f(x) ε R vagy y ε R

Zérushely: x = 0 + k * π (k ε Z) (ahol a függvény az x-tengelyt metszi)

Menete (monotonítása) :
-π/2 + k * π < x < π/2 + k * π (k ε Z) vagy intervallummal: x ε ] -π/2 + k * π ; π/2 + k * π [ (k ε Z) szigorúan monoton növekvő

Szélső érték: nincs

Periódikus: periódusa: π

Nem folytonos: szakadási pontja: x = π/2 + k * π (k ε Z)

Paritása: páratlan, mert tg(-x) = - tgx (szimmetrikus a függvény az origóra)

A megoldóképlettel mi a feladat?