Algebra

1. feladat:
log3(1/x) + log33√ x  = 4/3

Értelmezési tartomány: (logaritmus argumentuma csak pozitív lehet, és a tört nevezője nem lehet egyenlő 0-val)
1/x > 0 A törtnek pozitívnak kell lenni. Tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Itt a számláló 1, tehát pozitív, ezért a nevezőnek is pozitívnak kell lenni.
Tehát: x > 0

3√ x  > 0
x > 0
Tehát az egyenlet értelmezési tartománya: x > 0 vagy intervallummal: x ε ] 0 ; + végtelen [

log3(1/x) + log33√ x  = 4/3
A logaritmus azonosságainak alkalmazásával átalakítjuk az egyenletet úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalán 1 3-as alapú logaritmus álljon:
log3 [ (1/x) * 3√ x  ] = log3 34/3
A log. fgv. szig. mon. miatt
(1/x) * 3√ x  = 34/3
(1/x) * 3√ x  = (3√ 3 )4
(1/x) * 3√ x  = 3√ 81  / ()3
(1/x3) * x = 81
1/x2 = 81 / * x2
1 = 81 * x2 / : 81
1/81 = x2 / √  
±√ 1/81  = ±1/9 = x
x1 = 1/9 Megoldás, mert benne van az értelmezési tartományban. 1/9 > 0
x2 = - 1/9 Nem megoldás, mert nincs benne az értelmezési tartományban. - 1/9 > 0 nem teljesül

2. feladat:
log5x - log25x + log125x = 3/4

Értelmezési tartomány: (logaritmus argumentuma csak pozitív lehet)
x > 0

log5x - log25x + log625x = 3/4

Az egyenletet átalakítjuk úgy, hogy azonos alapú logaritmusok legyenek benne.
A közös logaritmus alapja 5 lesz, mert minden alapot fel tudunk írni 5 hatványaként.

log25x = (log5x) / log525) = (log5x) / (log552) = (log5x) / 2

log625x = (log5x) / log5625) = (log5x) / (log554) = (log5x) / 4

Ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
log5x - (log5x) / 2 + (log5x) / 4 = 3/4
A logaritmus helyett bevezetünk egy új ismeretlent:
Legyen log5x = y
Ekkor az egyenletünk:
y - y/2 + y/4 = 3/4 / közös nevezőre hozunk
4y / 4 - 2y / 4 + y/4 = 3/4 / * 4
4y - 2y + y = 3
3y = 3 / : 3
y = 1

Visszahelyettesítünk y-ba:
log5x = 1
log5x = log551
A log. fgv. szig. mon. miatt
x = 51 = 5 Megoldása az egyenletnek, mert benne van az értelmezési tartományban. 5 > 0

3. feladat:
lg lg lgx = 0

Éertelmezési tartomány: (logaritmus argumentuma csak pozitív lehet)
x > 0

lgx > 0
lgx > lg 100
a log. fgv. szig. mon. növekvő
x > 100 = 1 , tehát x > 1

lg lgx > 0
lg lgx > lg 100
A log. fgv. szig. mon. növekvő
lgx > 100 = 1
lgx > lg 101
A log. fgv. szig. mon. növekvő
x > 101 = 10 , tehát x > 10

Az egyenlőtlenségek közös megoldása: x > 10 vagy intervallummal: x ε ] 10 ; + végtelen [

lg lg lgx = 0
lg lg lgx = lg 100
A log. fgv. szig. mon. miatt
lg lgx = 100 = 1
lg lgx = lg 101
A log. fgv. szig. mon. miatt
lgx = 101 = 10
lgx = lg 1010
A log. fgv. szig. mon. miatt
x = 1010 Megolgása az egyenletnek, mert benne van az értelmezési tartományban. 1010 > 10