Két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalaik aránya állandó, azaz AB /A'B' = BC/B'C' = AC/A'C' = λ (λ a hasonlóság aránya)
a)
AB = 2 cm
BC = 6 cm
AC = 6 cm
A'B' = 5 cm
B'C' = 15 cm
A'C' = 15 cm
AB/A'B' = 2/5
BC/B'C' = 6/15 = 2/5
AC/A'C' = 6/15 = 2/5
A megfelelő oldalak arányai megegyeznek, tehát a két háromszög hasonló.

b)
AB = 1,5 dm = 15 cm
BC = 20 cm
AC = 3 dm = 30 cm
A'B' = 75 cm
B'C' = 10 dm = 100 cm
A'C' = 150 cm
AB/A'B' = 15/75 = 1/5
BC/B'C' = 20/100 = 1/5
AC/A'C' = 30/150 = 1/5
A megfelelő oldalak arányai megegyeznek, tehát a két háromszög hasonló.

c)
AB = 10 cm
BC = 20 cm
AC = 15 cm
A'B' = 6 cm
B'C' = 12 cm
A'C' = 8 cm
AB/A'B' = 10/6 = 5/3
BC/B'C' = 20/12 = 5/3
AC/A'C' = 15/8
A megfelelő oldalak arányai nem egyeznek meg, tehát a két háromszög nem hasonló.

Két derékszögű háromszögek:
1. háromszög befogói:
a = 28 cm
b = 45 cm
Másik háromszög kerülete:
K' = 2 m 52 cm = 252 cm

Mivel a háromszög derékszögű, ezért felírhatjuk az oldalaira Pitagorasz-tételét:
a2 + b2 = c2
282 + 452 = c2
784 + 2025 = c2
2809 = c2
c = √ 2809  = 53 cm
A háromszög kerülete: K = a + b + c = 28 + 45 + 53 = 126 cm

Mivel a háromszögek hasonlóak, ezért megfelelő oldalaik aránya állandó. A kerületek aránya megegyezik az oldalak arányával, azaz:
λ = K' / K = 252/126 = 2
Tehát a megfelelő oldalak aránya is λ = 2
a'/a = 2
a'/28 = 2 / * 28
a' = 56 cm

b'/b = 2
b'/45 = 2 / * 45
b' = 90 cm

c'/c = 2
c'/53 = 2 / * 53
c' = 106 cm

Tehát a hasonló háromszög oldalai: 56 cm, 90 cm és 106 cm hosszúságúak.

A háromszög oldalai:
a = 12,8 cm
b = 9,6 cm
c = 16,5 cm

Hasonló háromszög:
b' = 32 mm = 3,2 cm
λ = ?
λ = b/b' = 9,6 / 3,2 = 3
Tehát a két háromszög hasonlóságának aránya: λ = 3.

Hasonló háromszögekben:
a = 4 cm
a' = 7 cm
b' - b = 2,25 cm
c' + c = 14,25 cm

λ = a/a' = 4/7
b/b' = 4/7 / keresztbe szorzunk
7 * b = 4 * b'
A b és b' oldalakra a következő összefüggések állnak fenn:
I. 7b = 4b'
II. b' - b = 2,25
A II. egyenletből kifejezzük b'-t: b' = 2,25 + b
Ezt behelyettesítjük a II. egyenletbe:
7b = 4 * (2,25 + b)
7b = 9 + 4b / - 4b
3b = 9 / : 3
b = 3 cm
Visszahelyettesítünk b'-be:
b' = 2,25 + 3 = 5,25 cm

A hasonlóság miatt a c és c' oldalakra is teljesül az I. egyenlőség, tehát c-re és c'-re a következő egyenlőségeket kaptuk:
I. 7c = 4c'
II. c' + c = 14,25
A II. egyenletből kifejezzük c'-t: c' = 14,25 - c
Ezt behelyettesítjük az I. egyenletbe:
7c = 4 * (14,25 - c)
7c = 57 - 4c / + 4c
11c = 57 / : 11
c = 57/11 cm
Visszahelyettesítünk c'-be:
c' = 14,25 - 57/11 = 57/4 - 57/11 = 627/44 - 228/44 = 399/44 cm

Az egyik háromszög oldalai: 4 cm , 3 cm és 57/11 cm, a másik háromszög oldali pedig 7cm , 5,25 cm és 399/44 cm hosszúságúak.

A hasonló háromnszögek területének aránya megegyezik az oldalak arányának négyzetével, vagyis:
T/T' = λ2 = (4/7)2 = 16/49
Tehát a területek aránya 16/49.

1. háromszög oldalai:
a = 3 cm
b = 4 cm
c = 6 cm
a1)
Kasonló háromszög kerülete:
K' = 19,5 cm

Az 1. háromszög kerülete:
K = a + b + c = 3 + 4 + 6 = 13 cm
A hasonló háromszögek kerületének aránya megegyezik az oldalak arányával, azaz:
λ = K' / K = 19,5 / 13 = 39/26 = 3/2
Tehát:
a'/a = λ
a'/3 = 3/2 / * 3
a' = 3/2 * 3 = 9/2 = 4,5 cm

b'/b = λ
b'/4 = 3/2 / * 4
b' = 3/2 * 4 = 12/2 = 6 cm

c'/c = λ
c'/6 = 3/2 / * 6
c' = 3/2 * 6 = 18/2 = 9 cm
Tehát a hasonló háromszög oldalai: 4,5 cm, 6 cm és 9 cm hosszúak.

b)
a' = 10,5 cm.
A hasonló háromszögek oldalainak aránya állandó.
λ = a'/a = 10,5 / 3 = 21/6 = 7/2

b'/b = λ
b'/4 = 7/2 / * 4
b' = 7/2 *4 = 28/2 = 14 cm

c'/c = λ
c'/6 = 7/2 / * 6
c' = 7/2 * 6 = 42/2 = 21 cm
Tehát a hasonló háromszög oldalai: 10,5 cm, 14 cm és 21 cm hosszúak.

c)
c' - a' = 6 cm

A hasdonló háromszögek megfelelő oldalainak aránya állandó.
a'/a = λ
a'/3 = λ / * 3
a' = 3 * λ = 3λ

c'/c = λ
c' /6 = λ / * 6
c' = 6 * λ = 6λ

Ezeket behelyettesítjük a fenti összefüggésbe:
c' - a' = 6
6λ - 3λ = 6
3λ = 6 / : 3
λ = 2
A megfelelő oldalak aránya 2.
a' = 3λ = 3 * 2 = 6 cm
c' = 6λ = 6 * 2 = 12 cm
b'/b = λ
b'/4 = 2 / * 4
b' = 8 cm
Tehát a hasonló háromszög oldalai: 6 cm, 8 cm és 12 cm hosszúságúak.

d)
c' + a' = 45 cm

A hasdonló háromszögek megfelelő oldalainak aránya állandó.
a'/a = λ
a'/3 = λ / * 3
a' = 3 * λ = 3λ

c'/c = λ
c' /6 = λ / * 6
c' = 6 * λ = 6λ

Ezeket behelyettesítjük a fenti összefüggésbe:
c' + a' = 45
6λ + 3λ = 45
9λ = 45 / : 9
λ = 5
A megfelelő oldalak aránya 5.
a' = 3λ = 3 * 5 = 15 cm
c' = 6λ = 6 * 5 = 30 cm
b'/b = λ
b'/4 = 5 / * 4
b' = 20 cm
Tehát a hasonló háromszög oldalai: 15 cm, 20 cm és 30 cm hosszúságúak.

Nagyon szépen köszönöm