Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek SOS

26
"Állapítsd meg a következő függvények szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit"
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Másodfokú függvények grafikonja parabola. A parabolának a "csúcspontjában" van a szésőértéke. Ha a függvény pozitív előjelű, akkor a grafikonja "mosolygós" felfele nyíló parabola, ekkor minimuma van a függvénynek. Ha függvény negatív előjelű, akkor a grafikonja "sírós" lefele nyíló parabola, ekkor maximuma van a függvénynek.

a)
f(x) = (x - 4)2 - 1
Az alapfüggvényt a változótranszformáció miatt az x-tengely mentén eltoljuk 4-gyel pozitív irányba (mindig ellentétesen) és az értéktranszformáció miatt az y-tengely mentén eltoljuk 1-gyel negatív irányba (mindig megegyező irányba). Így a parabola csúcspontja a (4 , -1) koordinátájú pontba került. Mivel a függvény pozitív előjelű, így a parabola "mosolygós" felfele nyíló, tehát a függvénynek minimuma van.
Minimum hely: x = 4
Minimum érték: y = -1 vagy f(x) = -1

b)
f(x) = -2x2 + 8
Nincs változótranszformáció, ezért az alapfüggvényt az x-tengely mentén nem toljuk el, az értéktranszformáció miatt az y-tengely mentén eltoljuk 8-cal pozitív irányba (mindig megegyező irányba). Így a parabola csúcspontja a (0 , 8) koordinátájú pontba került. Mivel a függvény negatív előjelű, így a parabola "sírós" lefele nyíló, tehát a függvénynek maximuma van.
Maximum hely: x = 0
Maximum érték: y = 8 vagy f(x) = 8

c)
f(x) = -(x + 2)2 + 4
Az alapfüggvényt a változótranszformáció miatt az x-tengely mentén eltoljuk 2-vel negatív irányba (mindig ellentétesen) és az értéktranszformáció miatt az y-tengely mentén eltoljuk 4-gyel pozitív irányba (mindig megegyező irányba). Így a parabola csúcspontja a (-2 , 4) koordinátájú pontba került. Mivel a függvény negatív előjelű, így a parabola "sírós" lefele nyíló, tehát a függvénynek maximuma van.
Maximum hely: x = -2
Minimum érték: y = 4 vagy f(x) = 4

d)
f(x) = 3x2 + 6x
Az ábrázoláshoz teljes négyzetté kell alakítani a függvény hozzárendelési utasítását:
f(x) = 3x2 + 6x = 3 * (x2 + 2x) = 3 * [ (x + 1)2 - 12 ] = 3 * [ (x + 1)2 - 1] = 3(x + 1)2 - 3
Tehát:
f(x) = 3(x + 1)2 - 3
Az alapfüggvényt a változótranszformáció miatt az x-tengely mentén eltoljuk 1-gyel negatív irányba (mindig ellentétesen) és az értéktranszformáció miatt az y-tengely mentén eltoljuk 3-mal negatív irányba (mindig megegyező irányba). Így a parabola csúcspontja a (-1 , -3) koordinátájú pontba került. Mivel a függvény pozitív előjelű, így a parabola "mosolygós" felfele nyíló, tehát a függvénynek minimuma van.
Minimum hely: x = -1
Minimum érték: y = -3 vagy f(x) = -3

e)
f(x) = 2x2 + 8x + 7
Az ábrázoláshoz teljes négyzetté kell alakítani a függvény hozzárendelési utasítását:
f(x) = 2x2 + 8x + 7 = 2 * (x2 + 4x) + 7 = 2 * [ (x + 2)2 - 22 ] + 7 = 2 * [ (x + 2)2 - 4] + 7 = 2(x + 2)2 - 8 + 7 = 2(x + 2)2 - 1
Tehát:
f(x) = 2(x + 2)2 - 1
Az alapfüggvényt a változótranszformáció miatt az x-tengely mentén eltoljuk 2-vel negatív irányba (mindig ellentétesen) és az értéktranszformáció miatt az y-tengely mentén eltoljuk 1-gyel negatív irányba (mindig megegyező irányba). Így a parabola csúcspontja a (-2 , -1) koordinátájú pontba került. Mivel a függvény pozitív előjelű, így a parabola "mosolygós" felfele nyíló, tehát a függvénynek minimuma van.
Minimum hely: x = -2
Minimum érték: y = -1 vagy f(x) = -1
1