Kezdetiérték feladat

x' = x/t + 1/sin(x/t)
x(2) = π

Legyen z(t) = x(t)/t
z' = (x'·t - x·t')/t² = x'/t - x/t² = x'/t - z/t
x' = t·z' + z

Így az eredeti diffegyenlet:
t·z' + z = z + 1/sin z
t·z' = 1/sin z
Ez szeparálható:
sin z · z' = 1/t
formálisan:
sin z · dz/dt = 1/t
most már miután dt-vel szorzunk, csak az integrál jelet kell mindkét oldalhoz odaírni:
∫ sin z dz = ∫ 1/t dt
-cos z = ln t - c
z = arc cos(c - ln t)
Mivel cos α = cos(-α), ezért ez is megoldás:
z = - arc cos(c - ln t)

Vissza x-re:
x(t) = ±t · arc cos(c - ln t)

Most jön a kezdetiérték:
x(2) = ±2·arc cos(c - ln 2) = π
arc cos(c - ln 2) = ±π/2
c - ln 2 = cos(±π/2) = 0
c = ln 2

Tehát a végeredmény:
x(t) = ±t · arc cos(ln 2 - ln t)
x(t) = ±t · arc cos(ln(2/t))