Gyökös feladatok

1. Ha jól sejtem, akkor a csatolmányban szereplő feladat akar lenni a feladat. Ha igen, akkor kezdjük a kikötéssel; páros gyök alatt nem állhat negatív szám, ezért:

x*³√x≥0, egy kéttényezős szorzat értéke akkor pozitív, hogyha a tényezők előjelei megegyeznek; ha x>0, akkor ³√x>0, tehát mindkettő pozitív, ez jó, hogyha x=0, akkor ³√x=0, tehát a szorzat értéke 0, ez is lehet, ha pedig x<0, akkor ³√x<0, tehát mindkettő negatív, így szorzatuk pozitív lesz, tehát a kifejezés értelmezési tartománya a valós számok halmaza.

Azt kell felhasználnunk, hogy k√a * k√b =k√ a*b , vagyis ha van két, azonos gyökszám alatt álló számunk, akkor azok szorzatát úgy is megkaphatjuk, hogy a számok gyökét vesszük.

A legbelső gyökjel alatt így járunk el: x*³√x=³√ x³ *³√x=³√ x³*x , itt pedig a hatványozás azonosságát használjuk: ak*an=ak+n, vagyis azonos alapú hatványok szorzásánál az alapot a kitevők összegére emelhetjük, így lesz =³√ x3+1 =³√ x⁴ .

A következő lépésben a ⁴√(³√ x⁴ )-nel kell foglalkoznunk, innen két lehetőség is adódik; az egyik, hogy k√ ⁿ√a =n*k√a, vagyis ha egy számból többször akarunk gyököt vonni, akkor egy lépésben úgy is megtehetjük, hogy a gyökszámokat összeszorozzuk, és azzal a számmal vonunk gyököt, esetünkben ¹²√(x⁴), a másik lehetőség, hogy a gyökök tetszőlegesen felcserélhetőek, például így: ³√ ⁴√(x⁴) , itt pedig már el tudjuk végezni a gyökvonást definíció szerint, így ³√|x| marad. Értelemszerűen az előző alak is átvariálható ilyen módon, és hasonló módon megy, mint a felcseréléssel.

Tehát a feladat, amit meg kell még oldanunk: ³√ x*³√|x| , innen esetszétválasztással kell továbbmennünk; ha x≥0, akkor minden gond nélkül elhagyható az ||, így ³√ x*³√x  kifejezést kell még egyszerűbb alakban felírnunk, ez ugyanazon az elven megy, ahogy már egyszer leírtam, a végeredmény ⁹√(x⁴).

Ha x<0, akkor x abszolutértéke annak ellentettje lesz, vagy -x, tehát a ³√ x*³√(-x)  kifejezést kell átalakítanunk, ennek végeredménye ⁹√(-(x)⁴), a páratlan gyökvonás tulajdonságai miatt a negatív előjel kihozható előre, így a -⁹√(x⁴) alakot kapjuk végeredményül.

2a) Egyszerűen bővítjük (tehát a számlálót és a nevezőt is szorozzuk) √5-tel, ekkor (10*√5)/(3*√5*√5) = (10*√5)/(3*5), itt észrevesszük, hogy 5-tel tudunk egyszerűsíteni, így (2*√5)/3 lesz a végleges alak.

2b) Itt kihasználjuk azt az azonosságot, hogy (a+b)*(a-b)=a²-b², így ha a törtet (3*√2-4)-gyel bővítjük, akkor a nevezőben (3*√2+4)*(3*√2-4)=(3*√2)²-4²=9*2-16=18-16=2 lesz, tehát a tört:

(2*(3*√2-4))/2, 2-vel egyszerűsítve 3*√2-4 marad.

3a) Ehhez az k√a * k√b =k√ a*b  azonosságot kell használni, csak visszafelé:

√ 75 =√ 25*3 =√ 25 *√3=5*√3
√ 12 =√ 4*3 =√4*√3=2*√3
√ 27 =√ 9*3 =√9*√3=3*√3, tehát a feladatból ez lesz:

5*√3-3*3*√3+2*2*√3 = 5*√3-9*√3+4*√3, ha tanultál már egyenletmegoldást, akkor az összevonás pont úgy megy, mint például 2x+3x=5x esetén, tehát 5-9+4=0, tehát 0*√3 az eredmény, ami 0. Ha tanultál kiemelést, akkor kiemeljük a √3-at, ekkor √3*(5-9+4)=√3*0=0 az eredmény. Ha ezek közül egyiket sem tanultad, akkor használhatjuk a szorzat definícióját: a*b=b+b+b+...+b, ahol a jobb oldalon 'a' darab 'b'-t adtunk össze, ezt használva:

5*√3=√3+√3+√3+√3+√3
9*√3=√3+√3+√3+√3+√3+√3+√3+√3+√3
4*√3=√3+√3+√3+√3, tehát:

√3+√3+√3+√3+√3-(√3+√3+√3+√3+√3+√3+√3+√3+√3)+√3+√3+√3+√3=

=√3+√3+√3+√3+√3-√3-√3-√3-√3-√3-√3-√3-√3-√3+√3+√3+√3+√3, ezeket összeházasítod, a párok kiejtik egymást (mivel √3-√3=0), így a végére 0 marad.

2b) Itt hogyan vannak gyökjel alatt?