Mertani sorozat

Ha jól értem, akkor a szár, az alap és a magasság alkotnak mértani sorozatot, lévén 2 szám mindig lehet egy mértani sorozatban egymás mellett, 3 már nem feltétlenül.

Tehát, ha a szár 4 cm, akkor az alap 4q, a magasság 4q² hosszú, ahol q>0.

Az alaphoz tartozó magasságról tudjuk, hogy felezi az alapot, és a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre bontja, ahol ebben az esetben átfogó hossza 4 cm, a befogók hossza 2q (mivel feleztük) és 4q² hosszúak. Erre felírhatjuk Pitagorasz tételét:

(2q)²+(4q²)²=4², kibontjuk a zárójeleket:

4q²+16q⁴=16, redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:

16q⁴+4q²-16=0, érdemes osztani 4-gyel:

4q⁴+q²-4=0, látható, hogy ez egy másodfokúra visszavezethető egyenlet; ha q²=z, akkor:

4z²+z-4=0 egyenletet kapjuk, ezt már meg tudjuk oldani; z1;2=(-1±√ 65 )/8, de mivel z=q² volt, ezért

q²=(-1+√ 65 )/8, tehát q=±√ (-1+[gyok]65 )/8[/gyok], de mivel q értéke pozitív, ezért csak a q=√ (-1+[gyok]65 )/8[/gyok] megoldás lesz csak jó nekünk.

q²=(-1-√ 65 )/8, negatív számból nem tudunk úgy gyököt vonni, hogy valós legyen az eredmény, tehát ezzel nem kell foglalkoznunk.

Tehát az alap hossza 4*(-1+√ 65 )/8=(-1+√ 65 )/2 cm, a magasság hossza 4*((-1+√ 65 )/8)²=(-1+√ 65 )²/16 cm, igény szerint lehet kerekíteni.