Ki tud segíteni az alábbi matematikai feladatban?

a) Tehát ez kell:

lim [(x+(1/x)-2)/(x-1)]
x→1

Általános iskolás tanulmányaink szerint a tört átalakítható:
((x-1)+(1/x)-1)/(x-1) = (x-1)/(x-1) + ((1/x)-1)/(x-1)= 1 + ((1/x)-1)/(x-1), tehát ennek kell a határértéke:

lim [1 + ((1/x)-1)/(x-1)]
x→1

Az az 1 sokat nem zavar bele a határértékbe, ezért kihozhatjuk:

lim [((1/x)-1)/(x-1)] +1
x→1

Bővítsük a törtet x-szel, ekkor ezt kapjuk: (1-x)/(x*(x-1)),
majd a számlálóból emeljünk ki (-1)-et: -(x-1)/(x*(x-1)),
így tudunk egyszerűsíteni (x-1)-gyel: -1/x, tehát:

lim [-1/x] +1 =-1+1=0, tehát az f(x) függvény 1-ben vett határértéke 0.
x→1

b) Deriválttal nem túl bonyolult megoldani, egyszerűen deriválod, megnézed, hogy a derivált értéke hol 0, és megnézed a határértéket 0+-ban és végtelenben, ezután összeveted az eredményeket.

Derivált nélkül: invertáljuk a függvényt;

x+(1/x)=y, szorzunk x-szel:
x²+1=xy, kivonunk xy-t:
x²-xy+1=0, teljes négyzetté alakítjuk:
(x-(y/2))²-(y²/4)+1=0, átvisszük a konstansokat a jobb oldalra:
(x-(y/2))²=(y²/4)-1, értelemszerűen a bal oldal értéke 0 vagy pozitív, ezért ezt a jobb oldalnak is kell tudnia, tehát:

(y²/4)-1≥0 → y²/4≥1 → y²≥4 → y≤-2 vagy y≥2. Mivel a függvényt a (0;∞) intervallumon értelmeztük, ahol minden x-re x és 1/x is pozitív, két pozitív szám összege pedig mindig pozitív, ezért csak az y≥2 jöhet számításba, tehát a legkisebb függvényérték, amit felvesz a függvény, az a 2, amit épp x=1-nél fel is vesz, úgyhogy ez lesz a minimum.

c) Mivel (0;∞)-en van értelmezve a függvény, a függvény pedig mindenhol folytonos, ezért az x=0 egyenletű aszimptota adja magát. Mivel a függvény folytonos, ezért nincs másik olyan egyenes, amit tetszőlegesen megközelítene úgy, hogy nem metszené, tehát csak 1 aszimptotája van.