Kicseréled az x-eket és az y-okat egymásra, ekkor rögtön y szerint fogsz először integrálni.

Huhh, jó szívatós feladat...
Lehet, hogy valami trükkel lehet gyorsabban is csinálni, de nekem nem jut eszembe semmi, csinálom bonyolultan.

Az abszolút érték miatt nézzük külön a pozitív és negatív y-okra.

0 ≤ y ≤ 1
Ekkor x határai: y-1 ≤ x ≤ 1-y²

A határoló görbéket kellene kitalálni:

a) y-1 ≤ x
Ezt az y-1=x vagyis y=x+1 görbe határolja, illetve a görbének ez a része:
y=0 → x=0-1
y=1 → x=1-1
Vagyis a görbének az -1 ≤ x ≤ 0 része.

b) x ≤ 1-y²
Ezt az x=1-y² vagyis y=√(1-x) görbe határolja, illetve a görbének ez a része:
y=0 → x = 1-0²
y=1 → x = 1-1²
Vagyis a görbének az 1 ≥ x ≥ 0 része.

Ez eddig így néz ki:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3Dx%2B1+and+y%3D%E2%88%9A(1-x),+y%3D0..1,+x%3D-1..1

Hasonlóképpen megy az -1≤y<0 rész is:
-y-1 ≤ x ≤ 1-y²
a) -y-1 ≤ x
y=-1-x görbe, y=-1 → x=0; y=0 → x=-1
b) x ≤ 1-y²
y=-√(1-x) görbe, y=-1 → x=0; y=0 → x=1
(azért lett -√..., mert y<0)

Ez így néz ki:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D-1-x+and+y%3D-%E2%88%9A(1-x),+y%3D-1..0,+x%3D-1..1

A teljes integrálási tartomány:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D-1-x+and+y%3D-%E2%88%9A(1-x)+and+y%3Dx%2B1+and+y%3D%E2%88%9A(1-x),+y%3D-1..1,+x%3D-1..1

---
Amikor kívül van az y és belül az x, akkor minden egyes sorban (y) balról jobbra integrál (x).
Az ábrából tudjuk kitalálni, hogy mettől meddig megy megcserélt koordinátákkal: minden egyes oszlopban (x) alulról felfelé (y).
Látszik, hogy két részre kell vágni az integrált, mert másmilyenek a határoló görbék. Az egyik a negatív x-ek:
 0    x+1
 ∫     ∫ f(x,y) dy dx
-1   -1-x
... a másik a pozitívak:
1   √(1-x)
∫      ∫ f(x,y) dy dx
0 -√(1-x)

Ennek a kettőnek az összege.