Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Cserélje fel az integrálások sorrendjét

519
Cserélje fel az integrálások sorrendjét.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
Kicseréled az x-eket és az y-okat egymásra, ekkor rögtön y szerint fogsz először integrálni.
-1

Huhh, jó szívatós feladat...
Lehet, hogy valami trükkel lehet gyorsabban is csinálni, de nekem nem jut eszembe semmi, csinálom bonyolultan.

Az abszolút érték miatt nézzük külön a pozitív és negatív y-okra.

0 ≤ y ≤ 1
Ekkor x határai: y-1 ≤ x ≤ 1-y²

A határoló görbéket kellene kitalálni:

a) y-1 ≤ x
Ezt az y-1=x vagyis y=x+1 görbe határolja, illetve a görbének ez a része:
y=0 → x=0-1
y=1 → x=1-1
Vagyis a görbének az -1 ≤ x ≤ 0 része.

b) x ≤ 1-y²
Ezt az x=1-y² vagyis y=√(1-x) görbe határolja, illetve a görbének ez a része:
y=0 → x = 1-0²
y=1 → x = 1-1²
Vagyis a görbének az 1 ≥ x ≥ 0 része.

Ez eddig így néz ki:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3Dx%2B1+and+y%3D%E2%88%9A(1-x),+y%3D0..1,+x%3D-1..1

Hasonlóképpen megy az -1≤y<0 rész is:
-y-1 ≤ x ≤ 1-y²
a) -y-1 ≤ x
y=-1-x görbe, y=-1 → x=0; y=0 → x=-1
b) x ≤ 1-y²
y=-√(1-x) görbe, y=-1 → x=0; y=0 → x=1
(azért lett -√..., mert y<0)

Ez így néz ki:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D-1-x+and+y%3D-%E2%88%9A(1-x),+y%3D-1..0,+x%3D-1..1

A teljes integrálási tartomány:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%3D-1-x+and+y%3D-%E2%88%9A(1-x)+and+y%3Dx%2B1+and+y%3D%E2%88%9A(1-x),+y%3D-1..1,+x%3D-1..1

---
Amikor kívül van az y és belül az x, akkor minden egyes sorban (y) balról jobbra integrál (x).
Az ábrából tudjuk kitalálni, hogy mettől meddig megy megcserélt koordinátákkal: minden egyes oszlopban (x) alulról felfelé (y).
Látszik, hogy két részre kell vágni az integrált, mert másmilyenek a határoló görbék. Az egyik a negatív x-ek:
 0    x+1
 ∫     ∫ f(x,y) dy dx
-1   -1-x
... a másik a pozitívak:
1   √(1-x)
∫      ∫ f(x,y) dy dx
0 -√(1-x)

Ennek a kettőnek az összege.
Módosítva: 7 éve
2