Matematika

A (-4 ; 1)
B (2 ; -3)
C (1 ; 2)
A keresett magasságvonal az A csúcsból indul, tehát x0 = -4 és y0 = 1, valamint merőleges a BC oldalra.
Ez azt jelenti, hogy a magasságvonal normálvektora megegyezik a BC oldal irányvektorával.
A BC oldal irányvektorát úgy számoljuk ki, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinátáit, azaz:
BC ( 1 - 2 ; 2 - (-3) )
BC (-1 ; 5) Tehát a magasságvonal normálvektora: n (-1 ; 5) A = -1 és B = 5
Az egyenes normálvektoros egyxenlete:
Ax + By = Ax0 +By0
-1 * x + 5 * y = -1 * (-4) + 5 * 1
-x + 5y = 4 + 5
-x + 5y = 9
Az A csúcsból induló magasságvonal egyenlete: ma: -x + 5y = 9

A BC oldal egyenletét felírhatjuk a BC irányvektor segítségével.
Az egyenes irányvektoros egyenlete:
v2x - v1y = v2x0 - v1y0
A BC irányvektorból: v1 = -1 és v2 = 5
A BC egyenes a B és a C ponton is áthalad, bármelyikkel számolhatunk. (Most C-vel számolunk, mert annak pozitívak a koordinátái.) Tehát x0 = 1 és y0 = 2

Behelyettesítünk az irányvektoros egyenletbe:
5x - (-1)y = 5 * 1 - (-1) * 2
5x + y = 5 + 2
A BC egyenlete: 5x + y = 7

A BC oldal és a magasságvonal metszéspontja a magasság talppontja, az egyenletekből álló egyenlet-rendszer megadja a koordinátáit:
I. -x + 5y = 9
II. 5x + y = 7
A II. egyenletből kifejezzük y-t: y = 7 - 5x
Ezt behelyettesítjük az I. egyenletbe:
-x + 5 * (7 - 5x) = 9
-x + 35 - 25x = 9
-26x + 35 = 9
-26x = -26
x = 1

Visszahelyettesítünk y-ba: y = 7 - 5x = 7 - 5 * 1 = 7 - 5 = 2
Tehát a magasságvonal talppontja: T (1 ; 2)
A magasság talppontja megegyezik a C csúccsal, tehát a háromszög derékszögű.

A magasság hossza az AT (AC) szakasz hosszával egyenlő.
|AT| = √  (1 - (-4) )2 + ( 2 - 1)2 = √  ( 52 + 12) = √ 25 + 1  = √ 26