Ha a gúlát félbevágjuk a V csúcson keresztül az alaplapra merőlegesen úgy, hogy az alapélekre merőleges a vágás (értelemszerűen 2-re merőleges, 2-vel párhuzamos), akkor a vágás helyén egy egyenlő szárú háromszöget kapunk, melynek alaphoz tartozó magassága VO=12 cm, szárai apotéma=13 cm hosszúak, kérdés az alapél hossza. Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot és két derékszögű háromszögre bontja, ahol az átfogó hossza 13 cm, egyik befogója 12 cm, a másik befogót nevezzük el x-nek, ekkor Pitagorasz tétele szerint:

12²+x²=13², ennek x=5 a megoldása, tehát a másik befogó hossza 5 cm, így az egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm hosszú.

Az egyenlő szárú háromszög alapja egyben a négyzet alap középvonala is, ami négyzet esetén ugyanolyan hosszú, mint a négyzet oldala, tehát a négyzet oldala is 5 cm hosszú, így területe 5*5=25 cm², ezzel már minden adott, hogy kiszámoljuk a gúla térfogatát: alapterület*testmagasság/3=25*12/3=100 cm³.

A másodikon még egy kicsit gondolkodnom kell.

Közben rájöttem, hogy nem jót írtam, mivel VABC gúla van, tehát 4 csúcsa, így összesen van 4 oldala. Magyarországon (érthetetlen okokból) a négy oldú gúla azt jelenti, hogy 4 oldallapja van, amikhez jön még az alaplap is (konkrétan érettségin szerepelt így). Emiatt, és, hogy x-re egész szám jött ki, eddig fel sem tűnt.

Szóval újra; van egy szabályos háromszög alapú gúlánk, ahol a testmagasság VO=12, az oldallapok magassága (apotémája) 13 cm.

Legyen az ACV egyenlő szárú háromszög apotémájának talppontja F. Vágjuk el az ACV háromszög apotémája és a BV oldalél mentén a gúlát, ekkor egy FBV háromszög keletkezik a vágás helyén, ahol FV=13 cm. Az FBV háromszögből a VO szakasz egy FVO derékszögű háromszöget vág ki, ahol az átfogó az FV=13 cm, egyik befogója VO=12 cm hosszú, másik befogó FO legyen x, ekkor Pitagorasz tétele szerint:

12²+x²=13²,ennek x=5 a megoldása.

Az FB szakasz az alaplap súlyvonala, az O pont pedig a súlypontja. Tudjuk, hogy a súlypont a súlyvonalat az oldalaktól mérve 1:2 arányban osztja, ezért az OB szakasz hossza 10 cm, mivel 1:2=5:10 teljesül, így az FB szakasz hossza 15 cm. Ennek fényében már ki tudjuk számolni az alaplap területét, ami kell a térfogathoz; Szabályos háromszög esetén a súlyvonal egyben magasságvonal is, tehát felezi az oldalt. Legyen a háromszög minden oldala y hosszú, ekkor félbevágás után a derékszögű háromszög befogóinak hossza 15 és y/2 cm, átfogója y, így Pitagorasz tétele szerint:

15²+(y/2)²=y², ennek végeredmény √ 300 =10*√3=y, tehát az alapél hossza 10*√3 cm. Így az alapterület nagysága oldal*oldalhoz tartozó magasság/2=(10*√3)*15/2=75*√3 cm², innen pedig térfogat=alapterület*testmagasság/3=(75*√3)*12/3=300*√3=√ 270000  cm³, igény szerint lehet kerekíteni (~519,615).

Az A csúcs távolsága a VBC síktól pont ugyanannyi, mint a B csúcs távolsága a VAC síktól, így azt számolom ki, mivel ahhoz már megvan az ábra. Igazából most az a kérdés, hogy milyen távol van a B csúcs az FV oldaltól; definíció szerint pont és szakasz (egyenes) távolságát annak a szakasznak a hossza mutatja meg, amelyik a ponton áthalad és merőleges a szakaszra (egyenesre), tehát gyakorlatilag az FBV háromszög B csúcshoz tartozó magassága kell, amit a területéből fogunk kiszámolni; egyrészt tudjuk, hogy területe FB*VO/2=15*12/2=90 cm², másrészt ha a keresett magasság M, akkor 12*M/2=6M, értelemszerűen ezeknek egyenlőeknek kell lennie, tehát:

6M=90, erre M=15 adódik, tehát a B csúcs az FV szakasztól 15 cm távolságra van, így a VAC síktól is, ugyanez igaz az A csúcs és a VBC sík távolságára is.