Logaritmus gyakorlása

1. feladat:
Mindig úgy kell alakítani a kifejezéseket, hogy a logaritmus alapja és a hatványalap megegyezzen.

a) log5125 = log553 = 3
b) log71/49 = log7 1/72 = log77-2 = -2
c) 8log2 3 = (23)log2 3 = (2log2 3)3 = 33 = 27
d) lg 0,001 = lg 1/1000 = lg 1/103 = lg10-3 = -3
e) (1/3)log3 2 = (3-1)log3 2 = (3log3 2)-1 = 2-1 = 1/2

2. feladat:
Mindig azonos alapú logaritmusra alakítunk.
a) x > 0
log3x = 2
log3x = log332
A log. fgv. szig. mon miatt
x = 32 = 9

b) x > 0
log4x = -1/2
log4x = log44-1/2
A log. fgv. szig. mon miatt
x = 4-1/2 = 1/41/2 = 1/√ 4  = 1/2 (-1/2 nem megoldás, mert az x nem lehet negatív.)

c) x > 0 és x ≠ 1
logx10 = 1
logx10 = logxx1
A log. fgv. szig. mon miatt
10 = x1
10 = x

d) x > 0 és x ≠ 1
logx25 = -2
logx25 = logxx-2
A log. fgv. szig. mon miatt
25 = x-2
25 = 1/x2 /*x2
25x2 = 1 / : 25
x2 = 1/25
x = 1/5 (-1/5 nem megoldás, mert az x nem lehet negatív.)

ε4. feladat:
Egyenlet megoldásnál arra kell törekedni, hogy az egyenlőség jel mindkét oldalán 1 azonos alapú logaritmus legyen. Ha mindkét oldalon 1 logaritmus van, akkor elhagyjuk.
Ha két logaritmus között + van, akkor azt átírjuk szorzásba, ha - van, akkor átírjuk osztásba, ha pedig a logaritmus előtt van egy szorzószám, akkor azt felrakjuk a logaritmus mőgé kitevőbe. (Nagyon röviden és egyáltalán nem szakszerűen, de ezek a logaritmus azonosságai. Talán így könnyebben megjegyzed.)

a)
log2(2 * log3(log4x + 1) ) = 1
Egymásba ágyazott logaritmusok vannak: kívülről haladunk befelé.
log2(2 * log3(log4x + 1) ) = log221
A log. fgv. szig. mon. miatt
2 * log3( log4x + 1 ) = 21
2 * log3( log4x + 1 ) = 2 / : 2
log3(log4x + 1) = 1
log3(log4x + 1) = log331
A log, fgv. szig. mon. miatt
log4x + 1 = 31
log4x + 1 = 3 / - 1
log4x = 2
log4x = log442
A log. fgv. szig. mon. miatt
x = 42
x = 16

b)
lgx - lg6 = 0
Értelmezési tartomány: x > 0
lg(x/6) = lg 100 (- volt, ezért osztásba írtuk át.)
A log. fgv. szig. mon. miatt
x/6 = 100
x/6 = 1 / *6
x = 6 Megoldás, mert benne van az értelmezési tartományban.

c)
lg(x - 3) + lg(x - 2) = 1 - lg5
Értelmezési tartomány:
x - 3 > 0
x > 3
x - 2 > 0
x > 2
Az értelmezési tartományok közös része: x > 3 vagy intervallummal x ε ]3 ; + végtelen[
lg(x - 3) + lg(x - 2) = 1 - lg5
lg(x - 3) * (x - 2) = lg 101 - lg5
lg(x- 3) * (x - 2) = lg10/5
A log. fgv. szig. mon. miatt
(x - 3) * (x - 2) = 2
x2 - 2x - 3x + 6 = 2
x2 - 5x + 6 = 2
x2 - 5x + 4 = 0
D = (-5)2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9 = 32
x1,2 = (5 ± 3) / 2
x1 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
x2 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1 Nem megoldás, mert nincs benne az értelmezési tartományban.

d)
2 * log1/2(x + 3) = log1/2(x + 5)
Értelmezési tartomány:
x + 3 > 0
x > -3
x + 5 > 0
x > -5
Az értelmezési tartomány közös része: x > -3 vagy intervallummal: x ε ]-3 ; + végtelen[

2 * log1/2(x + 3) = log1/2(x + 5)
log1/2(x + 3)2 = log1/2(x + 5)
A log. fgv. szig. mon. miatt
(x + 3)2 = x + 5
x2 + 2 * x * 3 + 32 = x + 5
x2 + 6x + 9 = x + 5
x2 + 5x + 4 = 0
D = 52 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9 = 32
x1,2 = (-5 ± 3) / 2
x1 = (-5 + 3) / 2 = -2 / 2 = -1
x2 = (-5 - 3) / 2 = -8 / 2 = -4 Nem megoldás, mert nincs benne az értelmezési tartományban.

e)
log3(2 * log2x + 3) = 0
Egymásba ágyazott logaritmusok: Kívülről befele bontjuk ki. (ugyanúgy, mint az a) egyenletnél)
log3(2 * log2x + 3) = 0
log3(2 * log2x + 3) = log330
A log. fgv. szig. mon. miatt
2 * log2x + 3 = 30
2 * log2x + 3 = 1 / - 3
2 * log2x = -2 / : 2
log2x = -1
log2x = log22-1
A log. fgv. szig. mon. miatt
x = 2-1 = 1/2

Egyenlőtlenséget ugyanúgy oldjuk meg, mint az egyenletet, csak arra kell figyelni, hogy amikor elhagyjuk a logaritmusokat, akkor egyenlőtlenségnél 1-nél kisebb logaritmus alap esetén megfordul az egyenlőtlenség iránya!

5. feladat:
a)
lg(2x - 6) ≥ 2
Értelmezési tartomány:
2x - 6 > 0
2x > 6
x > 3

lg(2x - 6) ≥ 2
lg(2x - 6) ≥ lg 102
A log. fgv. szig. mon. növekvő
2x - 6 ≥ 102
2x - 6 ≥ 100
2x ≥ 106
x ≥ 53
Az egyenlőtlenség megoldása (az értelmezési tartománnyal közös része): x ≥ 53 vagy intervallummal : x ε [53 ; + végtelen[

b)
log1/2(x - 2) < log1/2x + log1/23
Értelmezési tartomány:
x - 2 > 0
x > 2
x > 0
Az értelmezési tartomány közös része: x > 2 vagy intervallummal: x ε ]2 ; + végtelen[

log1/2(x - 2) < log1/2x + log1/23
log1/2(x - 2) < log1/2(x * 3)
A log. fgv. szig. mon. csökkenő
x - 2 > 3x (logaritmus alapja 1/2 < 1, ezért megfordul az egyenlőtlenség iránya) / - x
-2 > 2x / : 2
-1 > x
Az egyenlőtlenségnek nincs megoldása, mert nincs közös része az értelmezési tartománnyal.

c)
log3/2(4x + 2) > log3/2(10 - x)
Értelmezési tartomány:
4x + 2 > 0
4x > -2
x > -2/4 = -1/2

10 - x > 0
10 > x
Az értelmezési tartományok közös része: -1/2 < x < 10 vagy intervallummal: x ε ]-1/2 ; 10[

log3/2(4x + 2) > log3/2(10 - x)
A log. fgv. szib. mon növekvő
4x + 2 > 10 - x (3/2 > 1, ezért az egyenlőtlenség iránya nem változik.) / + x
5x + 2 > 10 / - 2
5x > 8 / : 5
x > 8/5 = 1,6

Az egyenlőtlenség megoldása (az értelmezési tartománnyal közös része): 8/5 < x < 10 vagy intervallummal: x ε ]8/5 , 10[