Szinusz és Koszinusz tétel

a2 + b2 = 296 cm2
γ = 30⁰
T = 35 cm2
T = (a * b * sinγ) / 2
35 = (a * b * sin30⁰) / 2 /*2
70 = a * b * 0,5 /: 0,5
140 = a * b
Kaptunk egy kétismeretlenes egyenlet-rendszert a-ra és b-re:
I. a2 + b2 = 296
II. a * b = 140

A II. egyenletből kifejezzük b-t: b = 140 / a
Ezt behelyettesítjük az I. egyenletbe:
a2 + (140 / a)2 = 296
a2 + 19600 / a2 = 296 /* a2
a4 + 19600 = 296a2
a4 - 296a2 + 19600 = 0
Legyen: a2 = x
x2 - 296x + 19600 = 0
D = (-296)2 - 4 * 1 * 19600 = 87616 - 78400 = 9216 = 962
x1,2 = (296 ± 96) / 2
x1 = (296 + 96) / 2 = 392 / 2 = 196
x2 = (296 - 96) / 2 = 200 / 2 = 100

Visszahelyettesítve:
a2 = 196
a1 = √ 196  = 14 cm (negatív nem lehet a háromszög oldala)

a2 = 100
a2 = √ 100  = 10 cm (negatív nem lehet a háromszög oldala)

Visszahelyettesítünk b-be:
b1 = 140 / 14 = 10 cm
b2 = 140 / 10 = 14 cm

Felírjuk c oldalra a koszinusz-tételt:
c2 = a2 + b2 - 2 * a * b * cosγ
c2 = 142 + 102 - 2 * 14 * 10 * cos30⁰
c2 = 196 + 100 - 280 * 0,866
c2 = 296 - 242,48
c2 = 53,52
c = √ 53,52  = 7,32 cm

Felírjuk a szinusz-tételt az a és a c oldalakra:
a / sinα = c / sinγ
14 / sinα = 7,32 / sin30⁰
14 / sinα = 7,32 / 0,5
14 / sinα = 14,64
14 = 14,64 * sinα
14 / 14,64 = sinα
0,9563 = sinα
α = 73⁰

A háromszög belső szögeinek összege 180⁰, ebből megkapjuk β-t.
β = 180⁰ - α - γ = 180⁰ - 73⁰ - 30⁰ = 77⁰