Egy határidőn túli megoldás. (Habár még mindig nem értem, hogy a diákjaink miért az utolsó órákban rakják fel kérdéseiket.)

Amikor a gyökös egyenletek alaphalmazának megállapításával (diáknyelven a kikötésekkel) foglalkozunk vegyük észre azt, hogy sem a gyökök alatti kifejezések, sem "azon kívüliek" nem lehetnek negatívak. Az érettségire készülők általában két kritikus tag vizsgálatával szembesülnek. A rendezések után vagy két gyökös, vagy egy gyökös és egy "gyök nélküli" kifejezéssel találkoznak. A kérdést feltevő négy egyenlete is ezekbe a kategóriákba sorolható.
Nézzük végig a feladatokat. Keressük tehát a valós számok legszűkebb halmazát, amelyre az adott egyenlet értelmes lesz.
1. egyenlet alaphalmaza `1/2>=x>=20` lenne, de ez nyilvánvaló ellentmondás, amelyre azt szokás mondani, hogy az alaphalmaz üres halmaz, így nincs megoldása ennek az egyenletnek.
2. egyenlet alaphalmaza azon valós x számok halmazából fog állni, amelyre `x>=8` teljesül. (a matekosok nyelvén `A={x| x>=8, x in RR}`). Ezek után nyugodtan négyzetre emelhetjük mindkét oldalt, hogy aztán örömmel állapítsuk meg az `x=24` egyetlen megoldást. Ellenőrzésről nem elfelejtkezve adódik, hogy `sqrt(24-8)=sqrt(16)=4`.
3. egyenlet alaphalmazának megállapításához már jobban meg kell mozgatni a szürke állományunkat. Azt hiszem mindenki látja, hogy két gyökös kifejezést kell megvizsgálni.
A bal oldalinak legyen `A_1`, a jobb oldalinak `A_2` az értelmezési tartománya.
Az is látható, hogy a bal oldali kifejezés egy másodfokú parabolához tartozik, amelynek másodfokú tagjának együtthatója pozitív. Ez pedig azt jelenti, hogy a gyök alatti másodfokú egyenlet gyökei által meghatározott nyílt intervallum komplementerére kell gondolni.
Tehát `A_1={x| x<=frac{1-sqrt(15)}{14}, vagy frac{1+sqrt(15)}{14}<=x , x in RR}`
Míg az `A_2={x| x>=0, x in RR}`
Ezek után következik, hogy `A=A_1 cap A_2={x| x>=frac{1+sqrt(15)}{14}, x in RR}`
Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, az adódó másodfokú egyenlet két gyöke `x_1=-1/7` és `x_2=1/2` lenne, de ebből megoldás csak az `x=1/2` jöhet szóba az A alaphalmazban rejlő feltétel miatt. Ellenőrzés: `sqrt(14/4-1-1)=sqrt(6/4)` miatt igaz állításhoz jutunk.

4. egyenlet alaphalmaza `A={x| 10>=x, x in RR}`. Négyzetre emelések után adódik a gyökös egyenlet egyetlen megoldása `x=10`. Ellenőrzés: `10=sqrt(10-10)+10` szintén igaz állítás.