42.
G = 40 N a rúd súlya
Ez a rúd felénél hat lefelé:
ℓ₀ = 2 m

Mi is erőt fejtünk ki a rúdra:
F = 100 N
A 30 fokos egységnyi átfogójú derékszögű háromszög befogói 1/2 és √3/2 hosszúak (úgy is lehet mondani, hogy sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2)

Az erő függőleges komponense lefelé:
F₁ = F·1/2 = 50 N
A vízszintes komponens a csukló felé:
Fv = F·√3/2 = 50·√3 N

Az erő a csuklótól ilyen távol van:
ℓ₁ = 3 m

D = 800 N/m
A rugó a 4 méteres rúd negyedénél van:
ℓ₁ = 1 m
A rugóerő F₂ felfelé.

A rúdra ható G, F₁ és F₂ erők forgatónyomatékainak eredője nulla:
(A forgatónyomatékot a csuklónál számoljuk, így nem kell a csuklóra ható erővel számolni, hisz annak 0 az erőkarja)
G·ℓ₀ + F₁·ℓ₁ - F₂·ℓ₂ = 0
40·2 + 50·3 - F₂·1 = 0
F₂ = 80+150 = 230 N

A rugó x-et nyomódik össze:
F₂ = D·x
230 = 800·x
x = 0,2875 m

A csukló által kifejtett erő:
A függőleges komponens: Az összes függőleges erő eredőjével azonos kell legyen (persze ellentétes irányú).
Lefelé ható erők: G+F₁ = 90 N
Felfelé ható: F₂ = 230 N
Ezek eredője 140 N felfelé, ezért a csukló által kifejtett erő függőleges komponense 140 N lefelé.
A vízszintes komponens a már kiszámolt Fv ellenereje, 50·√3 jobbra.
Így a csukló által kifejtett erő nagysága √(140² + 50²·3) = 164,62 N, iránya pedig:
α =arc tg ( 140 / (50√3) ) = 58,26°

48.
M = 20 kg félgömb
m = 8 kg nehezék
Nevezzük α-nak azt a szöget, amennyivel elfordul a félgömb.

Rajzolj fel egy ilyen félkört (nem kell félgömböt, elég a metszete).
Rajzold be a gömb középpontját és a félgömb súlypontját is, valamint az ezeket összekötő r sugarat. A felrajzolt félgömb (félkör) teteje α szöggel tér el a vízszintestől, ugyanígy az r sugár is α szöggel a függőlegestől.
Rajzold be az előbbi mondatban lévő függőlegest is, ami a gömb középpontját az érintési pontjával köti össze.
A súlypont ilyen távolságra került balra a függőlegestől:
x₁ / (r·3/8) = sin α
x₁ = r · 3/8 · sin α
A nehezék ilyen távol van jobbra a függőlegestől:
x₂ / r = cos α
x₂ = r · cos α

A forgatónyomatékok kiegyenlítik egymást:
x₁·M = x₂·m
r · 3/8 · sin α · M = r · cos α · m
tg α = 8m / (3M) = 64 / 60
α = 46,85°

A tapadási együtthatót biztos ki tudod számolni... de ha nem, szólj.