Matek feladat 11.

1. feladat:
25x - 30 * 5x + 125 = 0
52x - 30 * 5x + 125 = 0
(5x)2 - 30 * 5x + 125 = 0
Bevezetünk egy új ismeretlent az 5x helyett: Legyen: y = 5x
y2 - 30y + 125 = 0
D = (-30)2 - 4 * 1 * 125 = 900 - 500 = 400 = 202
y1,2 = (30 ± 20) / 2
y1 = (30 + 20) / 2 = 50 / 2 = 25
y2 = (30 - 20) / 5 = 10 / 2 = 5

Visszahelyettesítünk y-ba:
5x = 25
5x = 52
Az exp. fgv, szig. mon. miatt
x = 2

5x = 5
5x = 51
Az exp. fgv. szig. mon. miatt
x = 1

Ellenőrzés:
x = 2 esetén:
252 - 30 * 52 + 125 = 0
625 - 30 * 25 + 125 = 0
625 - 750 + 125 = 0
0 = 0

x = 1 esetén:
251 - 30 - 51 + 125 = 0
25 - 30 * 5 + 125 = 0
25 -150 + 125 = 0
0 = 0

2. feladat:
3x - 3x - 2 = 32
Felbontjuk a hatványkitevőket a hatványozás azonosságainak alkalmazásával:
3x - 3x / 32 = 32
Bevezetünk új ismeretlent: legyen : y = 3x
y - y/9 = 32 / *9
9y - y = 288
8y = 288
y = 36
Visszahelyettesítünk y-ba:
3x = 36
lg 3x = lg 36
x * lg 3 = lg 36
x = lg 36 / lg 3
x = 1,556 / 0,477
x = 3,26

3. feladat:
log4(6 - 2x) =1/2
Értelmezési tartomány:
6 - 2x >0
6 > 2x
3 > x vagy x ε ] - végtelen ; 3[

log4(6 - 2x) =1/2
log4(6 - 2x) = log441/2
A log. fgv. szig. mon. miatt
6 - 2x = 41/2
6 - 2x = √ 4 
6 - 2x = 2
-2x = -4
x = 2 Megoldás, mert benne van az értelmezési tartományban.

4. feladat:
lg (3x - 2) + lg (4x - 7) = lg 4
Értelmezési tartomány:
3x - 2 > 0
3x > 2
x > 2/3

4x - 7 > 0
4x >7
x > 7/4 Közös értelmezési tartomány:
x > 7/4 vagy x ε ]7/4 ; + végtelen[

lg (3x - 2) + lg (4x - 7) = lg 4
lg (3x - 2) * (4x - 7) = lg 4
A log. fgv. szig. mon. miatt
(3x - 2) * (4x - 7) = 4
12x2 - 21x - 8x + 14 = 4
12x2 - 29x + 14 = 4
12x2 - 29x + 10 = 0
D = (-29)2 - 4 * 12 * 10 = 841 - 480 = 361 = 192
x1,2 = (29 ± 19) / 2 * 12 = (29 ± 19) / 24
x1 = (29 + 19) / 24 = 48 / 24 = 2 Megoldás
x2 = (29 - 19) / 24 = 10 / 24 = 5 / 12 Nem megoldás, mert nincs benne az értelmezési tartományban.

5. feladat:
lg (2x - 3) - lg x = 1
Értelmezési tartomány:
2x - 3 > 0
2x > 3
x > 3/2

x>0 Az értelmezési tartomány közös része:
x > 3/2 vagy x ε ]3/2 ; + végtelen[

lg (2x - 3) - lg x = 1
lg [(2x - 3) / x] = lg 101
A log. fgv. szig. mon. miatt
(2x - 3) / x = 10 /*x
2x - 3 = 10x
-3 = 8x
-3/8 = x Nem megoldás, mert nics benne az értelmezési tartományban.
Az egyenletnek nincs megoldása.

6. feladat:
T(t) = 90 * 10-0,038t

a)
t = 10 perc
T(10) = 90 * 10-0,038 * 10 = 90 * 10-0,38 = 37,52 ⁰C

b)
T(t) = 15,6 ⁰C
15,6 = 90 * 10-0,038 * t /:90
0,173 = 10-0,038 * t
lg 0,173 = lg 10-0,038 * t
lg 0,173 = (-0,038 * t) * lg 10
lg 0,173 = -0,038 * t
-0,761 = -0,038 * t /: (-0,038)
t = 20
Tehát 20 perc múlva lesz 16,5 ⁰C a tea hőmérséklete.