Hatvány,gyök,logaritmus

1. feladat:
lg x = 3 * lg a - lg b + 1/2 * lg c
Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait:
1. logaritmus elötti szorzószám "felmegy a logaritmus utáni kifejezés kitevőjébe
2. logaritmusok összege egyenlő a logaritmus utáni kifejezések szorzatának logaritmusával
3. logaritmusok különbsége egyenlő a logaritmus utáni kifejezések hányadosának logaritmusával
Akkor:
lg x = lg a3 - lg b + lg c1/2
lg x = lg a3 - lg b + lg √ c  (törtkitevő = gyök)
lg x = lg (a3 * √ c  / b)
x = (a3 * √ c ) / b
Tehát a megoldás: E

2. feladat:
lg b = (lg c - lg d) / 3 /*3
3 * lg b = lg c - lg d
lg b3 = lg (c / d)
b3 = c / d
b = 3√ c/d 

3. feladat:
log2x2 = 4
Értelmezési tartomány: x2 > 0
x nem lehet egyenlő 0-val.
2 * log2 x = 4 /:2
log2 x = 2
log2 x = log2 22
log2 x = log2 4
A log. fgv. szig. mon. miatt
x = 4

4. feladat:
a)
(x - 1) / 2 + 2x / 5 = 4 Közös nevező
5 * (x - 1) / 10 + 2 * 2x / 10 = 40 / 10 /*10
5 * (x - 1) + 4x = 40
5x - 5 + 4x = 40
9x - 5 = 40 / + 5
9x = 45 /:9
x = 5

Ellenőrzés:
(5 - 1) / 2 + 2 *5 / 5 = 4
2 + 2 = 4
4 = 4

b)
lg (x - 1) + lg 4 = 2
Értelmezési tartomány:
x - 1 > 0
x > 1
lg (x - 1) * 4 = lg 102
lg (x - 1) * 4 = lg 100
A log. fgv. szig. mon. miatt
(x - 1) * 4 = 100
4x - 4 = 100 / + 4
4x = 104 /:4
x = 26

5. feladat:
a) lg (x + 15)2 - lg (3x + 5) = lg 20
Értelmezési tartomány:
(x + 15)2 > 0
x + 15 ≠ 0
x ≠ -15

3x + 5 > 0
3x > -5
x > -5/3 Az egyenlet értelmezési tartománya: x > -5/3 vagy x ε ]-5/3 ; + végtelen[

lg (x + 15)2 - lg (3x + 5) = lg 20
lg [(x + 15)2 / (3x + 5)] = lg 20
A log. fgv. szig. mon. miatt
(x + 15)2 / (3x + 5) = 20 / * (3x + 5)
(x + 15)2 = 20 * (3x + 5)
x2 + 2 * x * 15 + 152 = 60x + 100
x2 + 30x + 225 = 60x + 100
x2 - 30x + 125 = 0
D = (-30)2 - 4 * 1 * 125 = 900 - 500 = 400 = 202
x1,2 = (30 ± 20) / 2
x1 = (30 + 20) / 2 = 50 / 2 = 25
x2 = (30 - 20) / 2 = 10 / 2 = 5
Az egyenletnek két megoldása van: a 25 és az 5.

5. feladat:
b)
25gyök (x) = 5 * 53 * gyök (x)
Értelmezési tartomány: (gyök miatt)
x ≥ 0

Exponenciális egyenlet. Közös alapra hozunk és alkalmazzuk a hatványozás azonosságait:
(52)gyök (x) = 51 * 53 * gyök (x)
52 * gyök (x) = 51 + 3 * gyök (x)
Az exp. fgv. szig. mon. miatt
2√ x  = 1 + 3√ x  /-2√ x 
0 = 1 + √ x  / - 1
-1 = √ x  / 2
1 = x

6. feladat:
lg pm = 0,8 * lg pv + 0,301

a)
pv = 20 Pa
lg pm = 0,8 * lg pv + 0,301
lg pm = 0,8 * lg 20 + 0,301
lg pm = 0,8 * 1,301 + 0,301
lg pm = 1,3418
lg pm = lg 101,3418
pm = 101,3418
pm = 22 Pa

b)
pm = 50 Pa
lg pm = 0,8 * lg pv + 0,301
lg 50 = 0,8 * lg pv + 0,301
1,7 = 0,8 * lg pv + 0,301 / - 0,301
1,399 = 0,8 * lg pv / : 0,8
1,75 = lg pv
lg 101,75 = lg pv
pv = 101,75
pv = 56 Pa

c)
pm = pv
lg pm = 0,8 * lg pv + 0,301
lg pm = 0,8 * lg pm + 0,301
lg pm = lg (pm)0,8 + lg 100,301
lg pm = lg [ (pm)0,8 * 100,301 ]
pm = (pm)0,8 * 2 / : (pm)0,8
(pm) / (pm)0,8 = 2
(pm)1 / (pm)0,8 = 2
(pm)0,2 = 2 (0,2-dik hatvány = 1/5 hatvány = 5 √  
5√  (pm) = 2 / 5
pm = 25
pm = 32
Tehát 32 Pa nyomásnál mutatja a műszer a valódi nyomást!