Szöveges egyenletek másodfokú képlettel

1. feladat:
A keresett szám legyen: x
1-gyel nagyobb szám : x + 1
A megoldandó egyenlet:
x * (x + 1) = x + 25
x2 + x = x + 25 /- x
x2 = 25 / √  
x = 5
A keresett szám az 5.

2. feladat:
Az oldalak száma legyen: x
1 csűcsból x - 3 db átló húzható ( a két szomszédos csúcsba és saját magába nem húzunk átlót).
x db csúcsból x * (x - 3) db átló húzható, de így minden átlót kétszer számoltunk, mert mindkét végpontjánál számoltuk, tehát egy x oldalú sokszögben összesen x * (x - 3) / 2 db átló van.
Tehát a megoldandó egyenlet:
x * (x - 3) / 2 = 77 /* 2
x * (x - 3) = 154
x2 - 3x = 154
x2 - 3x - 154 = 0
D = (-3)2 - 4 * 1 * (-154) = 9 + 616 = 625 = 252
x1,2 = (3 ± 25) / 2
x1 = (3 + 25) / 2 = 28 / 2 = 14
x2 = (3 - 25) / 2 = -22 / 2 = -11 Nem megoldás, mert az oldalak száma nem lehet negatív.
Tehát 14 oldalú a sokszög.

3. feladat:
A téglalap oldalai legyenek : a és b.
A téglalap kerülete: K = 2 * (a + b)
Az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre bontja, amelyeknek befogói az a és a b oldalak, átfogójuk pedig az átló.
A feladat feltételei szerint:
A téglalap átlója: c = 20 m
A téglalap kerülete: K = 56 m
56 = 2 * (a + b) /:2
28 = a + b
A derékszögű háromszögre felírjuk Pitagorasz-tételét:
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = 202
a2 + b2 = 400

Így a-ra és b-re kaptunk egy kétismeretlenes egyenlet-rendszert:
I. a + b = 28
II. a2 + b2 = 400

Az I. egyenletbők kifejezzük b-t: b = 28 - a
Ezt behelyettesítjük a II. egyenletbe:
a2 + (28 - a)2 = 400
a2 + 282 - 2 * 28 * a + a2 = 400
a2 + 784 - 56a + a2 = 400
2a2 - 56a + 784 = 400 / - 400
2a2 - 56a + 384 = 0 /:2
a2 - 28a + 192 = 0
D = (-28)2 - 4 * 1 * 192 = 784 - 768 = 16 = 42
a1,2 = (28 ± 4) / 2
a1 = (28 + 4) / 2 = 32 / 2 = 16
a2 = (28 - 4) / 2 = 24 / 2 = 12

Visszahelyettesítünk b-be:
b1 = 28 - a1 = 28 - 16 = 12
b2 = 28 - a2 = 28 - 12 = 16

Tehát a téglalap oldalai 16 m és 12 m hosszúságúak.
Területe: T = a * b = 16 * 12 = 192 m2