Szia, ez matek egy vagy kettő?

`q(mathbf{x})=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3`

Egy négyzetes tag sincs, ezért változócserét kell alkalmaznunk, legyen:

`x_1=y_1+y_2`
`x_2=y_1-y_2`
`x_3=y_3`

Ezzel a kvadratikus alak:

`q(mathbf{y})=(y_1+y_2)(y_1-y_2)+(y_1-y_2)y_3+(y_1+y_2)y_3``=``y_1^2-y_2^2+2y_1y_3`

Adjunk hozzá és vonjunk is ki belőle `y_3^2`-et, ezzel az értékét nyilván nem rontottuk el:

`q(mathbf{y})=y_1^2+2y_1y_3+y_3^2-y_3^2-y_2^2``=``(y_1+y_3)^2-y_2^2-y_3^2`

Ismét térjünk át új változókra:

`z_1=y_1+y_3`
`z_2=y_2`
`z_3=y_3`

Ezzel pedig kanonikus alakot kaptunk:

`q(mathbf{z})=z_1^2-z_2^2-z_3^2`

Egy pozitív és két negatív együttható van, tehát a kvadratikus alak indefinit, szignatúrája (1, 2). Illetve szokták a szignatúrát a pozitív és negatív együtthatók különbségeként is definiálni, ha te így tanultad, akkor a szignatúra -1.



Mátrixosan leírva a változótranszformációkat:

`mathbf{x}=mathbf{T}_1 mathbf{y}: \qquad [[x_1],[x_2],[x_3]]=[[1,1,0],[1,-1,0],[0,0,1]][[y_1],[y_2],[y_3]]`

`mathbf{y}=mathbf{T}_2 mathbf{z}: \qquad [[y_1],[y_2],[y_3]]=[[1,0,-1],[0,1,0],[0,0,1]][[z_1],[z_2],[z_3]]`

`mathbf{x}=mathbf{T}_1 mathbf{T}_2 mathbf{z}=mathbf{T} mathbf{z}: \qquad [[x_1],[x_2],[x_3]]=[[1,1,0],[1,-1,0],[0,0,1]][[1,0,-1],[0,1,0],[0,0,1]][[z_1],[z_2],[z_3]]=[[1,1,-1],[1,-1,-1],[0,0,1]][[z_1],[z_2],[z_3]]`

És valóban, az `x rightarrow z` transzformációs mátrix diagonalizálja az együtthatómátrixot:

`q(mathbf{x})=mathbf{x}^text{T} mathbf{Q}mathbf{x}=[[x_1, x_2, x_3]][[0, 1/2, 1/2],[1/2, 0, 1/2],[1/2, 1/2, 0]][[x_1],[x_2],[x_3]]`

`q(mathbf{z})=mathbf{z}^text{T} mathbf{Q}^' mathbf{z}=[[z_1, z_2, z_3]][[1, 0, 0],[0, -1, 0],[0, 0, -1]][[z_1],[z_2],[z_3]]`

`q=mathbf{x}^text{T} mathbf{Qx}``=``(mathbf{Tz})^text{T} mathbf{Q} (mathbf{Tz})``=``mathbf{z}^text{T} mathbf{T}^text{T} mathbf(QTz)`, tehát `mathbf{T}^text{T} mathbf(QT)=mathbf{Q}^'`:

`[[1,1,-1],[1,-1,-1],[0,0,1]]^\text{T} * [[0, 1/2, 1/2],[1/2, 0, 1/2],[1/2, 1/2, 0]] *[[1,1,-1],[1,-1,-1],[0,0,1]]=[[1, 0, 0],[0, -1, 0],[0, 0, -1]]`