Algebra

Ez egyszerűbb, mint amilyennek elsőre hangzik, szerintem már tanultad lineáris algebrából, csak itt bonyolultan van megfogalmazva. Legyen `v in V` a `lambda` sajátértékhez tartozó sajátvektor. Ekkor a sajátértékegyenlet: `f(v)=lambda v`. Válasszuk ki a vektortérnek egy tetszőleges bázisát, és az absztrakt leírásmódról térjünk át erre a mátrixos tárgyalásra (ez biztosan megtehető, hiszen az endomorfizmus azt jelenti, hogy `f` egy `V`-ből `V`-be képező, lineáris, művelettartó leképezés). Ebben a reprezentációban az `f` leképezés és a `v` absztrakt vektor egy `mathbf{F}` mátrix és egy `mathbf{v}` vektor lesz, a sajátértékegyenlet pedig `mathbf{Fv}=lambda mathbf{v}`. Rendezzük nullára: `mathbf{Fv}-lambda mathbf{v}=mathbf{0}`, innen `(mathbf{F}-lambda mathbf{I}_n)mathbf{v}=mathbf{0}`, ahol `mathbf{I}_n` az `n times n`-es egységmátrix. Ez egy lineáris egyenletrendszer, aminek pontosan akkor van a triviális `mathbf{v}=mathbf{0}` eseten kívüli megoldása, ha `det(mathbf{F}-lambda mathbf{I}_n)=0`. Viszont ennek a bal oldala éppen a karakterisztikus polinom definíciója: `P_{f}(lambda)=det(mathbf{F}-lambda mathbf{I}_n)`.



Nem tudom, hogy tőled elvárják-e, de esetleg még be lehet bizonyítani azt is, hogy a karakterisztikus polinom nem függ a bázis megválasztásától (tehát `P_f` magához az `f` leképezéshez, nem pedig annak egy konkrét `mathbf{F}` mátrixreprezentációjához rendelhető). Legyen a `V` vektortér egyik bázisa `{b_1, b_2, ..., b_n}`, egy másik bázisa `{b_1^', b_2^', ..., b_n^'}`, a bázisok közötti áttérés mátrixa pedig `mathbf{T}`. Ha `f` mátrixa az első bázisban `mathbf{F}`, akkor a második bázisban `mathbf{F}^'=mathbf{T}^{-1} mathbf{FT}`.

A karakterisztikus polinom az első bázisban:

`P_{mathbf{F}} (lambda) =det(mathbf{F}-lambda mathbf{I}_n)`

A karakterisztikus polinom a második bázisban:

`P_{mathbf{F}^'} (lambda) =det(mathbf{F}^'-lambda mathbf{I}_n)``=``det(mathbf{T}^{-1} mathbf{FT}-lambda mathbf{I}_n)``=``det(mathbf{T}^{-1} mathbf{FT}-lambda mathbf{T}^{-1} mathbf{I}_n mathbf{T})``=``det(mathbf{T}^{-1})det(mathbf{F}-lambda mathbf{I}_n)det(mathbf{T})``=``1/det(mathbf{T})*P_{mathbf{F}}(lambda)*det(mathbf{T})``=``P_{mathbf{F}}(lambda)`

Tehát bármilyen bázist választunk is, a karakterisztikus polinom mindig ugyanaz: `P_{mathbf{F}}(lambda)=P_{mathbf{F}^'}(lambda)=P_{f}(lambda)`