a)
A(-2 ; 1)
B(4 ; 3)
C(10 ; 5)
Felírjuk az A és B ponton átmenő egyenes egyenletét. Ehhez először meghatározzuk a két ponton átmenő irányvektor egyenletét. Ezt úgy csináljuk, hogy koordinátánként külön-külön a végpontból kivonjuk a kezdőpontot.
AB vektor ( B - A) = (4 - (-2) ; 3 - 1)
AB vektor (6 ; 2) ez a két ponton átmenő irányvektor : 1. koordinátája a v1 , a 2. koordinátája a v2
Tehát az AB vektornál: v1 = 6 és v2 = 2
Az egyenes irányvektoros egyenlete: v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
Ebben az egyenletben x és y a változók, x0 és y0 pedig az egyenes egyik pontjának koordinátái. (itt A vagy B pontjaival is dolgozhatunk. Válasszuk B-t (mert annak pozitívak a koordinátái)

v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
2 * x - 6 * y = 2 * 4 - 6 * 3
2x - 6y = 8 - 18
2x - 6y = -10 /:2 egyszerűsíthetünk 2-vel
AB egyenes egyenlete: x - 3y = -5

Leellenőrizzük, hogy a C pont rajta van -e az egyenesen. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a C pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe.
10 - 3 * 5 = -5
10 - 15 = -5
-5 = -5
Teljesül az egyenlőség, tehát a C pont rajta van az AB egyenesén. --> a 3 pont egy egyenesre esik.

b)
A(5 ; 2)
B(-2 ; 2)
C(11 ; 2) Itt egyértelmű, hogy egy egyenesre esnek, hiszen a második koordinátájuk egyenlő.)
De vezessük le:
Felírjuk az A és B ponton átmenő egyenes egyenletét. Ehhez először meghatározzuk a két ponton átmenő irányvektor egyenletét. Ezt úgy csináljuk, hogy koordinátánként külön-külön a végpontból kivonjuk a kezdőpontot.
AB vektor ( B - A) = (-2 - 5 ; 2 - 2)
AB vektor (-7 ; 0) ez a két ponton átmenő irányvektor : 1. koordinátája a v1 , a 2. koordinátája a v2
Tehát az AB vektornál: v1 = -7 és v2 = 0
Az egyenes irányvektoros egyenlete: v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
Ebben az egyenletben x és y a változók, x0 és y0 pedig az egyenes egyik pontjának koordinátái. (itt A vagy B pontjaival is dolgozhatunk. Válasszuk A-t (mert annak pozitívak a koordinátái)

v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
0 * x - (-7) * y = 0 * 5 - (-7) * 2
7y = 0 + 14
7y = 14 /:7 egyszerűsíthetünk 7-tel
AB egyenes egyenlete: y = 2

Leellenőrizzük, hogy a C pont rajta van -e az egyenesen. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a C pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe.
2 = 2
Teljesül az egyenlőség, tehát a C pont rajta van az AB egyenesén. --> a 3 pont egy egyenesre esik.

c)
A(-4 ; 1)
B(-4 ; 2)
C(-4 ; -5) Itt is egyértelmű, hogy egy egyenesen vannak, mert az első koordinátájuk egyenlő.)
De vezessük le:
Felírjuk az A és B ponton átmenő egyenes egyenletét. Ehhez először meghatározzuk a két ponton átmenő irányvektor egyenletét. Ezt úgy csináljuk, hogy koordinátánként külön-külön a végpontból kivonjuk a kezdőpontot.
AB vektor ( B - A) = (-4 - (-4) ; 2 - 1)
AB vektor (0 ; 1) ez a két ponton átmenő irányvektor : 1. koordinátája a v1 , a 2. koordinátája a v2
Tehát az AB vektornál: v1 = 0 és v2 = 1
Az egyenes irányvektoros egyenlete: v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
Ebben az egyenletben x és y a változók, x0 és y0 pedig az egyenes egyik pontjának koordinátái. (itt A vagy B pontjaival is dolgozhatunk. Válasszuk B-t:

v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
1 * x - 0 * y = 1 * (-4) - 0 * 2
x = -4 - 0
AB egyenes egyenlete: x = -4

Leelenőrizzük, hogy a C pont rajta van -e az egyenesen. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a C pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe.
-4 = -4
Teljesül az egyenlőség, tehát a C pont rajta van az AB egyenesén. --> a 3 pont egy egyenesre esik.

d)
A(0 ; 4)
B(-3 ; 6)
C(12 ; -4)
Felírjuk az A és B ponton átmenő egyenes egyenletét. Ehhez először meghatározzuk a két ponton átmenő irányvektor egyenletét. Ezt úgy csináljuk, hogy koordinátánként külön-külön a végpontból kivonjuk a kezdőpontot.
AB vektor ( B - A) = (-3 - 0 ; 6 - 4)
AB vektor (-3 ; 2) ez a két ponton átmenő irányvektor : 1. koordinátája a v1 , a 2. koordinátája a v2
Tehát az AB vektornál: v1 = -3 és v2 = 2
Az egyenes irányvektoros egyenlete: v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
Ebben az egyenletben x és y a változók, x0 és y0 pedig az egyenes egyik pontjának koordinátái. (itt A vagy B pontjaival is dolgozhatunk. Válasszuk A-t (mert annak pozitívak a koordinátái)

v2 * x -v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0
2 * x - (-3) * y = 2 * 0 - (-3) * 4
2x + 3y = 0 + 12
AB egyenes egyenlete: 2x + 3y = 12

Leelenőrizzük, hogy a C pont rajta van -e az egyenesen. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a C pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletébe.
2 * 12 + 3 * (-4) = 12
24 - 12 = 12
12 = 12
Teljesül az egyenlőség, tehát a C pont rajta van az AB egyenesén. --> a 3 pont egy egyenesre esik.