1. feladat::
Legyen az 1. négyzet oldala: a cm, akkor a másik négyzet oldala: a + 5 cm.
A négyzetek területei:
T1 = a2
T2 = (a + 5)2

T1 + T2 = 493 cm2
a2 + (a + 5)2 = 493
a2 + a2 + 2 * a * 5 + 52 = 493
2a2 + 10a + 25 = 493
2a2 + 10a - 468 = 0 /:2
a2 + 5a - 234 = 0
D = 52 - 4 * 1 * (-234) = 25 + 936 = 961 = 312
a1,2 = (-5 ± 31) / 2
a1 = (-5 + 31) / 2 = 26 / 2 = 13 cm
a2 = (-5 -31) / 2 = -36 / 2 = -18 Nem megoldás, mert a négyzet oldala nem lehet negatív.

Tehát az egyik négyzet oldala 13 cm-es, a másik négyzeté pedig 13 + 5 = 18 cm-es.

2. feladat:
A téglalap rövidebb oldala legyen: x dm, akkor a hosszabb oldala: 3x + 3 dm, átlója pedig 3x + 3 + 1 = 3x + 4 dm.
A téglalapot az átlója két egybevágó dewrékszögű háromszögre bontja. Ezen derékszögű háromszögek befogói a téglalap oldalai, átfogója pedig az átló.
Felírjuk erre a derékszögű háromszögre Pitagorasz-tételét:
x2 + (3x + 3)2 = (3x + 4)2
x2 + (3x)2 + 2 * 3x * 3 + 32 = (3x)2 + 2 * 3x * 4 + 42
x2 + 9x2 + 18x + 9 = 9x2 + 24x + 16
10x2 + 18x + 9 = 9x2 + 24x + 16
x2 - 6x - 7 = 0
D = (-6)2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 = 82
x1,2 = (6 ± 8) / 2
x1 = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7
x2 = (6 - 8) / 2 = -2 / 2 = -1 Nem megoldás, mert a téglalap oldalai nem nehetnek negativak.

A téglalap rövidebb oldala: 7 cm-es, hosszabb oldala pedig: 3 * 7 + 7 = 21 + 3 = 24 cm-es.

3. feladat:
A derékszögű háromszög befogói: a és b.
Ekkor a feladat feltételei szerint: b = 3 * a
Tháromszög = 7,5 cm2

A derékszögű háromszög területe: Tháromszög = (a * b) /2
Vagyis:
7,5 = (a * b) / 2 /*2
15 = a * b
15 = a * (3a)
15 = 3a2
5 = a2
a = √ 5  = 2,24 cm

Tehát a háromszög befogói: a = √ 5  = 2,24 cm, és b = 3√ 5  = 6,72 cm.

10. feladat:
x nap alatt napi y teszt , akkor x * y = 720
x - 3 nap alatt napi y + 20 teszt , akkor (x - 3) * (y + 20) = 720
Kaptunk egy kétismeretlenes egyenlet-rendszert:
I. x * y = 720
II. (x - 3) * (y + 20) = 720
Az I. egyenletből kifejezzük y-t:
y = 720/x
Ezt behelyettesítjük a II. egyenletbe:
(x - 3) * (720/x + 20) = 720
720 + 20x - 2160/x - 60 = 720 /-720
20x - 2160/x - 60 = 0 /*x
20x2 - 2160 - 60x = 0
20x2 - 60x - 2160 = 0 /:20
x2 - 3x - 108 = 0
D = (-3)2 - 4 * 1 * (-108) = 9 + 432 = 441 = 212
x1,2 = (3 ± 21) / 2
x1 = (3 + 21) / 2 = 24 / 2 = 12
x2 = (3 - 21) / 2 = -18/ 2 = -9 Nem megoldás, mert a napok száma nem lehet negatív.
Visszahelyettesítünk az y-ba: y = 720/x = 720/12 = 60

Tehát 12 napig tartott a tesztek megoldása.

11. feladat:
x Ft-os jegyből y darabot adtak el , akkor x * y = 384000
x + 3000 Ft-os jegyből y - 4 darabot adtak el , akkor (x + 3000) * (y - 4) = 420000
Kaptunk egy kétismeretlenes egyenlet-rendszert:
I. x * y = 384000
II. (x + 3000) * (y - 4) = 420000
Az I. egyenletből kifejezzük y-t:
y = 384000/x
Ezt behelyettesítjük a II. egyenletbe:
(x + 3000) * (384000/x - 4) = 420000
384000 - 4x + 1152000000/x - 12000 = 420000
-4x + 1152000000/x + 372000 = 420000
-4x + 1152000000/x - 48000 = 0 /*x
-4x2 + 1152000000 - 48000x = 0
-4x2 - 48000x + 1152000000 = 0 /:(-4)
x2 +12000x - 288000000 = 0
D = 120002 - 4 * 1 * (-288000000) = 144000000 + 1152000000 = 1296000000 = 360002
x1,2 = (-12000 ± 36000) / 2
x1 = (-12000 + 36000) / 2 = 24000 / 2 = 12000
x2 = (-12000 - 36000) / 2 = -48000/ 2 = -24000 Nem megoldás, mert a jegyek ára nem lehet negatív.
Visszahelyettesítünk az y-ba: y = 384000/x = 384000/12000 = 32

Tehát először 12000 Ft-os áron 32 db jegyet adtak el, másodszor pedig 12000 + 3000 = 15000 Ft-os áron 32 - 4 = 28 db jegyet adtak el.

x km/h-s sebességgel haladva y óra alatt tette meg az utat, akkor x * y = 540
x - 10 km/h-s sebességgel y + 1 h kellett volna, tehát (x - 10) * (y + 1) = 540
Kaptunk egy kétismeretlenes egyenlet-rendszert:
I. x * y = 540
II. (x - 10) * (y + 1) = 540
Az I. egyenletből kifejezzük y-t:
y = 540/x
Ezt behelyettesítjük a II. egyenletbe:
(x - 10) * (540/x + 1) = 540
540 + x - 5400/x - 10 = 540 /-540
x - 5400/x - 10 = 0 /*x
x2 - 5400 - 10x = 0
x2 - 10x - 5400 = 0
D = (-10)2 - 4 * 1 * (-5400) = 100 + 21600 = 21700 = 147,312
x1,2 = (10 ± 147,31) / 2
x1 = (10 + 147,31) / 2 = 157,31 / 2 = 78,655
x2 = (10 - 147,31) / 2 = -137,31/ 2 = -68,655 Nem megoldás, mert a sebesség nem lehet negatív.

Tehát az autó átlagsebessége 78,655 km/h volt.