1. feladat:
a2 + b2 = 296
γ = 30⁰
Tháromszög = 35
A háromszög trigonometrikus területképlete szerint:
Tháromszög = (a * b * sinγ) / 2
35 = ( a * b * sim30⁰) / 2
70 = a * b * 0,5
140 = a * b
Így kaptunk egy egyenletrendszert a-ra és b-re:
I. a * b = 140
II. a2 + b2 = 296
Az I. egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent:
b = 140 / a
Ezt behelyettesítjük a II. egyenletbe:
a2 + (140/a)2 = 296
a2 + 19600 / a2 = 296 /* a2
a4 + 19600 = 296a2
Egy másodfokúra visszavezethető negyedfokú egyenletet kaptunk. Visszavezetjük másodfokúra úgy, hogy bevezetünk egy új ismeretlent a kisebb kitevős változó helyett, azaz legyen x = a2
Így az egyenlet : x2 + 19600 = 296x alakú lett. Rendezzük 0-ra:
x2 - 296x + 19600 = 0
D = (-296)2 - 4 * 1 * 19600 = 87616 - 78400 = 9216 = 962
x1,2 = (296 ± 96) / 2
x1 = (296 + 96) / 2 = 392 / 2 = 196
x2 = (296 - 96) / 2 = 200 / 2 = 100
Visszahelyettesítünk x-be:
1. megoldás:
a2 = 196
a = ± 14 Ebből a -14 nem megoldás, mert a háromszög oldala nem lehet negatív.
Vagyis: a = 14 Ezt visszahelyettesítve b-be kapjuk, hogy b = 140/a = 140/14 = 10

2. megoldás:
a2 = 100
a = ± 10 Ebből a -10 nem megoldás, mert a háromszög oldala nem lehet negatív.
Vagyis: a = 10 Ezt visszahelyettesítve b-be kapjuk, hogy b = 140/a = 140/10 = 14

Tehát azt kaptuk, hogy a háromszög egyik oldala a = 14, a másik b = 10 egység nagyságú.

A harmadik oldal meghatározásához felírjuk c-re a koszinusz-tételt:
c2 = a2 + b2 - 2 * a *b * cosγ
c2 = 296 - 2 * 140 * cos30⁰
c2 = 296 - 280 * 0,866
c2 = 296 - 242,48
c2 = 53,52
c = 7,32 egység

Az α szög kiszámításához felírjuk az a és a c oldalra a szinusz-tételt:
a / sinα = c / sinγ
14 / sinα = 7,32 / sin30⁰
14 / sinα = 7,32 / 0,5
14 / sinα = 14,64
14 = 14,64 * sinα
14 / 14,64 = sinα
0,9563 = sinα
α = 73⁰

Tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180⁰, ebből megkapjuk, hogy
β = 180⁰ - α - γ = 180⁰ - 73⁰ - 30⁰ = 77⁰

2. feladat:
a = 43 cm
b = 52 cm
γ = 38⁰

A c oldalhoz tartozó súlyvonal hosszát keressük.
Először kiszámoljuk a háromszög harmadik oldalát. Felírjuk c-re a koszinusz-tételt:
c2 = a2 + b2 - 2 * a * b * cosγ
c2 = 432 + 522 - 2 * 43 * 52 * cos38⁰
c2 = 1849 + 2704 - 4472 * 0,788
c2 = 4553 - 3523,936
c2 = 1029,064
c = 32,08 cm

Kiszámoljuk a háromszög másik szögét.
Felírjuk a szinusz-tételt az a és a c oldalra:
a / sinα = c / sinγ
43 / sinα = 32,08 / sin38⁰
43 / sinα = 32,08 / 0,6157
43 / sinα = 52,1
43 = 52,1 * sinα
0,8253 = sinα
α = 55,62⁰

A c oldalhoz tartozó súlyvonal a c oldalt felezi, és a háromszöget két kisebb háromszögre bontja. Az egyik kisebb háromszög oldalai: b , sc (súlyvonal) és c/2. Ebben a háromszögben α a súlyvonallal (sc) szemközti szög.
Felírjuk ebben a háromszögben a súlyvonalra a koszinusz-tételt:
sc2 = b2 + (c/2)2 - 2 * b * (c/2) * cosα
sc2 = 522 + 16,042 - 2 * 52 * 16,04 * cos 55,62
sc2 = 2704 + 257,28 - 1668,16 * 0,5647
sc2 = 2961,28 - 942
sc2 = 2019,28
sc = √ 2019,28  = 44,94

A c oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 44,94 cm.

Hm...